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No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH é traçada até a hipotenusa AB em H. Sabe-se AH = 9 cm e…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT308

Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH é traçada até a hipotenusa AB em H. Sabe-se AH = 9 cm e HB = 16 cm. Determine AC e BC.

A) AC = 20 cm; BC = 25 cm.
B) AC = 10 cm; BC = 15 cm.
C) AC = 15 cm; BC = 20 cm.
D) AC = 24 cm; BC = 30 cm.
E) AC = 5 cm; BC = 12 cm.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Resolvi a questão sem usar o gabarito. Os segmentos sobre a hipotenusa são AH = 9 cm e HB = 16 cm, então a hipotenusa mede AB = AH + HB = 9 + 16 = 25 cm. Passo 2: Pela relação métrica do triângulo retângulo, cada cateto ao quadrado é igual à hipotenusa multiplicada pela projeção desse cateto sobre ela. Para o cateto AC, a projeção é AH: AC^2 = AH x AB = 9 x 25 = 225, logo AC = raiz de 225 = 15 cm. Passo 3: Para o cateto BC, a projeção é HB: BC^2 = HB x AB = 16 x 25 = 400, logo BC = raiz de 400 = 20 cm. Passo 4: Conferindo com Pitágoras, AC^2 + BC^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = AB^2, o que confirma os valores. Passo 5: Portanto a alternativa correta é a C (AC = 15 cm e BC = 20 cm), que coincide com o gabarito oficial. Passo 6: A alternativa A está errada porque 25 cm é a hipotenusa, não o cateto BC. A alternativa B está errada porque seus valores não satisfazem AC^2 = 9 x 25. A alternativa D está errada porque 24 e 30 não correspondem às projeções dadas e não formam a relação métrica correta. A alternativa E está errada porque 5 e 12 formam uma terna pitagórica, mas não são compatíveis com AH = 9 e HB = 16.

💡 Dica: Utilize o Teorema de Pitágoras para encontrar os lados do triângulo.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceitual

Tomou a hipotenusa AB = 25 cm como se fosse o cateto BC e não aplicou a relação entre cateto, projeção e hipotenusa.

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Aplicou algum procedimento incorreto com as projeções, obtendo valores que não satisfazem AC^2 = AH x AB nem BC^2 = HB x AB.

Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.

C Correta

Em triângulos semelhantes: AC² = AH·AB e BC² = BH·AB. Como AB = AH+HB = 25, AC = v(9·25)=15 e BC = v(16·25)=20.

D Erradaerro: Procedimental

Provavelmente multiplicou os valores corretos por um fator indevido ou errou o cálculo da raiz, chegando a catetos maiores que os reais, sem respeitar as projeções.

E Erradaerro: Interpretação

Associou o triângulo a uma terna pitagórica conhecida (5, 12, 13) sem calcular a partir de AH = 9 e HB = 16, o que mostra não ter usado os dados do enunciado.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

triângulo retângulo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo

📚 Reveja

Revisar o Teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cientifico

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