Considere os triângulos ABC e DEF com ?A = ?D. Sabendo que AB = 3x + 2, AC = 5x - 1, DE = 10 e DF = 12: a)…

Questão

Considere os triângulos ABC e DEF com ?A = ?D. Sabendo que AB = 3x + 2, AC = 5x - 1, DE = 10 e DF = 12: a) Determine o valor de x para que AB/DE = AC/DF. b) Com esse x, verifique se ABC ~ DEF e explique quais condições necessárias e suficientes para semelhança foram satisfeitas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Igualando as razões: (3x+2)/10 = (5x-1)/12. Multiplicando em cruz: 12(3x+2) = 10(5x-1) ? 36x + 24 = 50x - 10 ? 24 + 10 = 50x - 36x ? 34 = 14x ? x = 34/14 = 17/7. b) Calcule AB e AC: AB = 3(17/7)+2 = (51+14)/7 = 65/7; AC = 5(17/7)-1 = (85-7)/7 = 78/7. Verifique razões: AB/DE = (65/7)/10 = 65/70 = 13/14; AC/DF = (78/7)/12 = 78/84 = 13/14. As duas razões correspondentes são iguais e o ângulo entre esses lados (?A e ?D) é igual por hipótese. Portanto as condições necessárias e suficientes para semelhança (pares de lados proporcionais com ângulo formado entre eles igual, critério LAL para semelhança) estão satisfeitas, logo ABC ~ DEF.

Explicação

A igualdade das razões AB/DE e AC/DF, junto com a congruência dos ângulos A e D, satisfaz as condições do critério LAL para a semelhança de triângulos. O cálculo de x garante que as proporções dos lados correspondentes sejam mantidas, confirmando a semelhança. Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes, pois atendem aos requisitos necessários.

Raio-X da questão

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