Nos triângulos ABC e DEF tem-se AB = 4x+2, AC = 6x-1, DE = 10, DF = 15 e ?A = ?D. Existe x tal que ABC ~ DEF?…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Nos triângulos ABC e DEF tem-se AB = 4x+2, AC = 6x-1, DE = 10, DF = 15 e ?A = ?D. Existe x tal que ABC ~ DEF? Se sim, determine x; caso contrário, justifique.
- A) Sim, existe x igual a 1 que torna os triângulos semelhantes.
- B) Não existe x que satisfaça a semelhança.
- C) Não, pois x não pode ser negativo.
- D) Sim, todos os valores de x geram triângulos semelhantes.
- E) Não, mas existe x igual a 2 para semelhança.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como o ângulo A é congruente ao ângulo D, a correspondência dos vértices é A com D, B com E e C com F. Assim, para haver semelhança, os lados que formam esses ângulos devem ser proporcionais: AB/DE = AC/DF.
- Substituindo os dados, temos (4x+2)/10 = (6x-1)/15.
- Multiplicando em cruz: 15(4x+2) = 10(6x-1), ou seja, 60x + 30 = 60x - 10.
- Cancelando 60x dos dois lados, sobra 30 = -10, uma igualdade falsa para qualquer valor de x. Logo, não existe x que torne os triângulos semelhantes.
- Verificação: a proporção dos lados adjacentes ao ângulo A seria constante em 10/15 = 2/3 apenas se 4x+2 e 6x-1 estivessem nessa razão, o que nunca ocorre, pois a diferença entre os lados proporcionais sempre se mantém incompatível.
- Análise das alternativas. A está errada porque x = 1 gera AB = 6 e AC = 5, com razões 6/10 e 5/15, que são diferentes. C está errada porque a impossibilidade não vem do sinal de x, e sim da equação, que não tem solução mesmo para x positivo. D está errada porque ter um ângulo congruente não garante semelhança. E está errada porque x = 2 gera AB = 10 e AC = 11, com razões 10/10 e 11/15, que não são iguais, além de a alternativa ser contraditória ao afirmar 'não' e depois 'existe'.
- Conclusão: o gabarito B está correto, pois não existe x que torne ABC semelhante a DEF.
💡 Dica: Iguale as razões dos lados correspondentes dos triângulos.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente testou um valor qualquer de x em apenas uma das razões ou cometeu erro ao resolver a proporção, chegando a x = 1 como solução. Não verificou que a outra razão não se iguala.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação de semelhança com a possibilidade de valores negativos para x, desconsiderando a necessidade de proporções corretas entre os lados dos triângulos.
Igualando razões: (4x+2)/10 = (6x-1)/15 ? 3(4x+2)=2(6x-1) ?12x+6=12x-2 ?6=-2, contradição; portanto não há x.
O aluno acredita que a impossibilidade decorre de uma restrição de sinal de x, confundindo a condição de existência do triângulo com a condição de semelhança. Na verdade, a equação não tem solução para nenhum valor de x.
O aluno acha que basta os triângulos terem um ângulo igual para serem semelhantes, sem exigir a proporcionalidade dos lados. A semelhança exige ângulos iguais e lados proporcionais (ou dois ângulos iguais, no caso AA).
O aluno testou x = 2 e errou o cálculo ou a verificação das razões, pois AC = 11 e DF = 15 não formam proporção com AB/DE = 1. Além disso, não percebeu a contradição entre responder 'não' e afirmar que existe um x.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · proporcionalidade
Revisar as propriedades de semelhança de triângulos.
O aluno pode confundir a relação de semelhança com a possibilidade de valores negativos para x, desconsiderando a necessidade de proporções corretas entre os lados dos triângulos.
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