Prove que os triângulos ABC e A'B'C' com A(0,0), B(6,0), C(0,8) e A'(0,0), B'(3,0), C'(0,4) são semelhantes…

Questão

Prove que os triângulos ABC e A'B'C' com A(0,0), B(6,0), C(0,8) e A'(0,0), B'(3,0), C'(0,4) são semelhantes. Descreva a transformação que leva ABC em A'B'C' e calcule a razão de semelhança.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Calcule os comprimentos: AB=6, AC=8, BC=10; A'B'=3, A'C'=4, B'C'=5. As razões são AB/A'B'=6/3=2, AC/A'C'=8/4=2, BC/B'C'=10/5=2, logo os lados correspondentes são proporcionais; portanto ABC e A'B'C' são semelhantes. A transformação é uma homotetia centrada em A(0,0) com razão k=1/2 (mapa (x,y)?(x/2,y/2)), sem rotação nem reflexão. A razão de semelhança (de ABC para A'B'C') é 1/2.

Explicação

Os triângulos são semelhantes porque os comprimentos dos lados correspondentes têm a mesma razão, confirmando a proporcionalidade. A transformação que leva um triângulo ao outro é uma homotetia, que mantém a forma e a proporção, apenas alterando a escala. A razão de semelhança é 1/2, indicando que os lados de A'B'C' são metade dos lados de ABC.

Raio-X da questão

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