No plano cartesiano, A(2,3), B(6,3), C(2,9) e A'(1,1), B'(3,1), C'(1,4). Verifique se os triângulos ABC e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer a congruência dos ângulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes de figuras poligonais em situações de ampliação e de redução em malhas quadriculadas e usando tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, A(2,3), B(6,3), C(2,9) e A'(1,1), B'(3,1), C'(1,4). Verifique se os triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes e determine a razão k = (lado de ABC)/(lado de A'B'C').
- A) Os pontos A' e B' são iguais a A e B, logo não há semelhança.
- B) Os triângulos são semelhantes, mas a razão k é 3.
- C) Triângulos ABC e A'B'C' não podem ser semelhantes pois A'B' é maior que AB.
- D) A razão k = 1/4, pois A'B' é menor que AB pela metade.
- E) Sim. ABC ~ A'B'C' com razão k = 2.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Calcule os comprimentos dos lados de ABC. AB vai de (2,3) a (6,3), logo AB = 4. AC vai de (2,3) a (2,9), logo AC = 6. BC = raiz de (6-2)^2 + (3-9)^2 = raiz de 16 + 36 = raiz de 52 = 2 raiz de 13.
- Calcule os lados de A'B'C'. A'B' vai de (1,1) a (3,1), logo A'B' = 2. A'C' vai de (1,1) a (1,4), logo A'C' = 3. B'C' = raiz de (3-1)^2 + (1-4)^2 = raiz de 4 + 9 = raiz de 13.
- Compare as razões entre lados correspondentes (AB com A'B', AC com A'C', BC com B'C'). AB/A'B' = 4/2 = 2. AC/A'C' = 6/3 = 2. BC/B'C' = 2 raiz de 13 / raiz de 13 = 2. Como as três razões são iguais, os triângulos são semelhantes (critério LLL), e a razão de semelhança é k = 2.
- Conclusão. O gabarito E está correto: ABC ~ A'B'C' com k = 2. A alternativa A está errada, pois A' e B' são pontos diferentes de A e B. A alternativa B está errada, pois a razão correta é 2, não 3. A alternativa C está errada, pois A'B' (2) é menor que AB (4), e tamanhos diferentes não impedem semelhança. A alternativa D está errada, pois A'B' é a metade de AB, o que dá k = 2 e não 1/4.
💡 Dica: Calcule as distâncias dos lados dos triângulos e compare.
Alternativa por alternativa
O aluno confundiu os pontos primados com os originais, achando que A' e B' coincidem com A e B. Não percebeu que as coordenadas são diferentes e que o problema pede comparação entre dois triângulos distintos.
O aluno acertou que os triângulos são semelhantes, mas calculou a razão combinando lados que não se correspondem, como AC = 6 dividido por A'B' = 2, o que dá 3. Os lados correspondentes devem ser comparados na mesma posição dos vértices.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os lados dos triângulos, acreditando que a razão k é igual a 3, sem calcular corretamente as distâncias.
O aluno acredita que triângulos só podem ser semelhantes se tiverem o mesmo tamanho, ou que um lado maior impede a semelhança. Na verdade, a semelhança depende da proporcionalidade dos lados, não de serem iguais em medida.
O aluno calculou corretamente que A'B' é metade de AB, mas inverteu a razão e a elevou ao quadrado, obtendo 1/4. Confundiu a razão de semelhança (linear) com a razão de áreas (que é o quadrado da razão linear).
Vetores AB=(4,0) e A'B'=(2,0) têm razão 2; vetores AC=(0,6) e A'C'=(0,3) têm razão 2; orientações iguais, logo homotetia com k=2 ? semelhança.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · coordenadas no plano cartesiano
Revisar as propriedades de semelhança de triângulos e cálculo de razões.
O aluno pode confundir a relação entre os lados dos triângulos, acreditando que a razão k é igual a 3, sem calcular corretamente as distâncias.
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cientifico
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