Num círculo, sejam A, B, C, D pontos distintos nessa ordem. Sabe-se que ?ABC = ?CDA e ?ACB = ?CAD. Prove que…

Questão

Num círculo, sejam A, B, C, D pontos distintos nessa ordem. Sabe-se que ?ABC = ?CDA e ?ACB = ?CAD. Prove que os triângulos ?ABC e ?CDA são semelhantes e deduza a razão entre os lados correspondentes AB/CD = BC/DA.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Pelas hipóteses, têm-se duas igualdades de ângulos: ?ABC = ?CDA e ?ACB = ?CAD. 2) Essas igualdades são ângulos inscritos em arcos apropriados; portanto cada par corresponde a um par de ângulos dos triângulos ?ABC e ?CDA. 3) Como há duas pares de ângulos congruentes, os triângulos ?ABC e ?CDA são semelhantes por AA (ângulo-ângulo). 4) Da semelhança segue a correspondência de lados: AB corresponde a CD e BC corresponde a DA. Portanto AB/CD = BC/DA. 5) Concluir: ?ABC ~ ?CDA e a razão pedida é AB/CD = BC/DA, como exigido.

Explicação

A demonstração utiliza a propriedade dos ângulos inscritos em um círculo, que garante que ângulos iguais correspondem a arcos iguais. Com dois pares de ângulos congruentes, a semelhança dos triângulos é estabelecida pela condição AA. A relação entre os lados dos triângulos semelhantes é uma consequência direta dessa semelhança, permitindo a dedução da razão entre os lados correspondentes.

Raio-X da questão

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