No círculo de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem. As medidas dos arcos menores são: m(arc…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No círculo de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem. As medidas dos arcos menores são: m(arc AB)=100°, m(arc BC)=60°, m(arc CD)=140° e m(arc DA)=60°. Prove que os triângulos inscritos ?ABC e ?ADC são semelhantes e deduza relações entre comprimentos dos lados correspondentes.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Calculem-se ângulos inscritos: arc AC = arc AB + arc BC = 100°+60° =160°, então ?ABC = 1/2·160° = 80°. O mesmo arco AC é interceptado por ?ADC, logo ?ADC = 80° também. Além disso, m(arc BC)=60° ? ?BAC = 1/2·60° = 30°; e m(arc DA)=60° ? ?DCA = 1/2·60° = 30°. Assim ?ABC e ?ADC têm dois ângulos iguais (AA) e são semelhantes. Pela correspondência obtida (A?C, B?D, C?A), o lado comum AC corresponde a si mesmo; portanto a razão de semelhança é 1 e os lados correspondentes são iguais: AB = CD e BC = AD.
Explicação
Os triângulos ABC e ADC são semelhantes devido à igualdade de dois ângulos, o que caracteriza a semelhança pelo critério AA. A relação de semelhança implica que os lados correspondentes mantêm uma proporção constante, e como o lado AC é comum a ambos, isso resulta em lados iguais, ou seja, AB = CD e BC = AD. Assim, a semelhança dos triângulos não apenas confirma a igualdade dos ângulos, mas também estabelece a equivalência dos comprimentos dos lados correspondentes.
Raio-X da questão
triângulos semelhantes
avaliacao
propriedades de triângulos · teorema de Tales
Revisar as propriedades de triângulos semelhantes e ângulos inscritos.
O aluno pode confundir a relação entre os ângulos internos dos triângulos, não aplicando corretamente a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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