Considere uma circunferência de centro O com pontos A, B, C e D distintos, nessa ordem, tais que m(arc AB) =…

Questão

Considere uma circunferência de centro O com pontos A, B, C e D distintos, nessa ordem, tais que m(arc AB) = m(arc CD) e m(arc BC) = m(arc DA). Prove que os triângulos ABC e CDA são semelhantes e determine a razão entre os lados correspondentes AB/CD e BC/DA.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Arcos iguais determinam ângulos inscritos iguais: m(arc AB)=m(arc CD) ? ?ACB = ?CDA; m(arc BC)=m(arc DA) ? ?ABC = ?CAD. 2) Dois ângulos correspondentes iguais implicam similaridade por AA: ?ABC ~ ?CDA. 3) Para as razões: arcos iguais geram cordas iguais; como AB e CD interceptam arcos de mesma medida, AB = CD, e BC = DA. Logo AB/CD = 1 e BC/DA = 1. (Justifique AB=CD observando que m(arc AB)=m(arc CD) ? ?AOB=?COD e, com OA=OB=OC=OD=R, os triângulos centrais são congruentes, ou use expressão do comprimento da corda: chord = 2R·sin(arc/2).)

Explicação

A similaridade dos triângulos é estabelecida pela igualdade dos ângulos inscritos, resultando na condição AA. A igualdade dos arcos implica que as cordas correspondentes também são iguais, levando à razão 1 entre os lados correspondentes. Assim, a análise dos ângulos e das cordas confirma a semelhança e as razões solicitadas.

Raio-X da questão

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