Sejam A, B, C, D pontos distintos numa circunferência de centro O. Sabendo que m(arc AB) = m(arc CD), prove…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam A, B, C, D pontos distintos numa circunferência de centro O. Sabendo que m(arc AB) = m(arc CD), prove que os triângulos ?AOB e ?COD são semelhantes e identifique os ângulos correspondentes.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Como m(arc AB)=m(arc CD), os ângulos centrais correspondentes são iguais: ?AOB = ?COD. Além disso OA=OB=OC=OD=R (raios). Considere a correspondência A?C e B?D: OC=OA e OD=OB são pares de lados iguais e o ângulo formado entre eles é igual (?COD=?AOB). Por SAS, ?AOB ? ?COD, portanto são semelhantes. Assim ?A = ?C (?OAB = ?OCD) e ?B = ?D (?OBA = ?ODC); os ângulos correspondentes são (?AOB??COD), (?OAB??OCD) e (?OBA??ODC).
Explicação
Os ângulos centrais dos arcos iguais geram ângulos correspondentes iguais nos triângulos formados, estabelecendo a primeira condição de semelhança. Além disso, os lados dos triângulos são iguais, pois todos os segmentos que vão do centro O aos pontos A, B, C e D são raios da mesma circunferência. Assim, a condição SAS (lado, ângulo, lado) é satisfeita, confirmando a semelhança dos triângulos.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · propriedades de ângulos
Revisar as propriedades de triângulos semelhantes e ângulos correspondentes.
O aluno pode confundir a relação de semelhança com a congruência, afirmando que os triângulos são iguais em vez de semelhantes.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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