Seja uma circunferência com pontos A, B, C e D nessa ordem. As cordas AB e CD são paralelas. Sabe-se AB = 6…

Questão

Seja uma circunferência com pontos A, B, C e D nessa ordem. As cordas AB e CD são paralelas. Sabe-se AB = 6 cm, BC = 9 cm e DA = 8 cm. Prove que os triângulos ABC e CDA são semelhantes e determine o comprimento da corda CD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como AB ? CD, os ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são iguais: ?ABC = ?CDA (ambos interceptam o arco AC) e ?ACB = ?CAD (ambos interceptam o arco AD). Portanto, os triângulos ?ABC e ?CDA têm dois ângulos iguais e são semelhantes (AA). 2) Da semelhança vem a proporção entre lados correspondentes: AB/CD = BC/DA. Substituindo os valores conhecidos: 6/CD = 9/8. 3) Resolva para CD: CD = 6·8/9 = 48/9 = 16/3 cm. Logo, CD = 16/3 cm.

Explicação

Os triângulos são semelhantes devido à igualdade dos ângulos inscritos que interceptam os mesmos arcos, o que caracteriza a semelhança pelo critério AA. A relação entre os lados correspondentes dos triângulos permite estabelecer uma proporção que, ao ser resolvida, fornece o comprimento da corda CD. Assim, a aplicação da semelhança e a manipulação algébrica levam ao valor correto de CD.

Raio-X da questão

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