Num círculo de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem no sentido horário. O ângulo central ?AOB…

Questão

Num círculo de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem no sentido horário. O ângulo central ?AOB mede 160°. O ângulo inscrito ?ACB, que intercepta o arco AB, mede 2x + 5°. Além disso, m(arc CD) = 2x - 10°. As cordas AD e BC intersectam-se internamente no ponto P, com AP = 3k, PB = 4k e CP = 5k (k>0). (a) Determine x. (b) Calcule m(arc AB) e m(arc CD). (c) Prove que os triângulos ?APB e ?CPD são semelhantes e determine PD e a razão AP/PD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Como ?ACB é inscrito e intercepta o arco AB, ?ACB = ½·m(arc AB). Como m(arc AB)=m(?AOB)=160°, temos ?ACB=80°. Logo 2x+5=80 ? x=37,5°. (b) m(arc AB)=160°; m(arc CD)=2x-10=2·37,5-10=65°. (c) Se AD e BC intersectam-se em P, então ?APB e ?CPD são verticais, logo iguais; outros pares de ângulos dos triângulos interceptam os mesmos arcos, portanto ?APB ~ ?CPD. Pela potência do ponto P: AP·PB = CP·PD ? (3k)(4k)=(5k)·PD ? PD=12k/5. Assim AP/PD=(3k)/(12k/5)=5/4.

Explicação

A relação entre ângulos inscritos e centrais permite determinar o valor de x ao comparar o ângulo inscrito com a metade do ângulo central correspondente. A semelhança dos triângulos se baseia na igualdade de ângulos e na propriedade de que os produtos das medidas das cordas que se interceptam são iguais. A razão entre os segmentos de corda é obtida através da relação de proporção entre as medidas calculadas.

Raio-X da questão

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