Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem ao percorrer a circunferência…

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem ao percorrer a circunferência. As retas que contêm os segmentos AB e CD são paralelas. Sabe-se que a medida do arco AB é 3x + 20° e a do arco BC é 2x + 10°. Além disso, uma rotação R de centro O e de amplitude 180° envia A em C. a) Determine x e as medidas dos arcos menores AB, BC, CD e DA. b) Explique por que R envia B em D e escreva a imagem de cada ponto A,B,C,D por R.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como R envia A em C, o arco AC mede 180°. Logo arco AB + arco BC = 180°: (3x+20)+(2x+10)=180 ? 5x+30=180 ? x=30. 2) arco AB = 3·30+20 = 110°; arco BC = 2·30+10 = 70°. 3) A rotação de 180° envia cada ponto ao antipodal; assim arco AC=180° implica arco BD=180°. Como arco BD = arco BC + arco CD = 70° + arco CD = 180°, obtemos arco CD = 110°. Finalmente arco DA = 360° - (AB+BC+CD) = 360 - (110+70+110) = 70°. 4) Portanto R(A)=C, R(B)=D, R(C)=A, R(D)=B. A justificativa geométrica: R é isometria que gira o círculo meia-volta em torno de O, enviando cada ponto ao ponto cuja medida do arco entre eles é 180°; a igualdade de medidas mostra que B é levado em D e vice-versa.

Explicação

A solução utiliza a propriedade de que a soma dos arcos AB e BC é igual a 180° devido à rotação de 180° que leva A a C. A relação entre os arcos permite determinar os valores de x e, consequentemente, as medidas dos arcos restantes. A isometria da rotação garante que os pontos B e D são antipodais, confirmando que R(B) = D e R(D) = B.

Raio-X da questão

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