No círculo de centro O e raio 13 cm, duas cordas paralelas AB e CD têm distâncias ao centro OA?AB = 5 cm e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No círculo de centro O e raio 13 cm, duas cordas paralelas AB e CD têm distâncias ao centro OA?AB = 5 cm e OC?CD = 12 cm. Calcule os comprimentos das cordas AB e CD.
- A) AB = 5 cm; CD = 13 cm.
- B) AB = 24 cm; CD = 10 cm
- C) AB = 10 cm; CD = 26 cm.
- D) AB = 30 cm; CD = 18 cm.
- E) AB = 20 cm; CD = 24 cm.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Interprete o enunciado. O símbolo de interrogação em 'OA?AB' e 'OC?CD' representa a perpendicular: OA é perpendicular a AB e OC é perpendicular a CD. Assim, a distância do centro O à corda AB é 5 cm e a distância de O à corda CD é 12 cm. O raio é 13 cm.
- Lembre o fato geométrico: o raio que é perpendicular a uma corda a divide ao meio. Logo, o triângulo formado pelo centro O, o ponto médio da corda e uma extremidade da corda é retângulo, com hipotenusa igual ao raio (13) e um cateto igual à distância ao centro.
- Calcule a metade de AB pelo teorema de Pitágoras: metade de AB = raiz de (13^2 - 5^2) = raiz de (169 - 25) = raiz de 144 = 12 cm. Portanto AB = 2 x 12 = 24 cm.
- Calcule a metade de CD: metade de CD = raiz de (13^2 - 12^2) = raiz de (169 - 144) = raiz de 25 = 5 cm. Portanto CD = 2 x 5 = 10 cm.
- Logo AB = 24 cm e CD = 10 cm, que é exatamente a alternativa B, conforme o gabarito oficial. Verificação: a corda mais próxima do centro (AB, a 5 cm) é a mais longa, o que é coerente com a propriedade de que cordas mais distantes do centro são menores.
- Por que as outras estão erradas: A tem valores que confundem a distância com o comprimento da corda e usam o raio como corda; C inverte as distâncias e usa o diâmetro como corda; D não respeita o teorema de Pitágoras, pois nenhuma corda de 30 cm pode existir em círculo de raio 13 cm, já que o diâmetro é 26 cm; E associa a maior distância à maior corda, o que contraria a propriedade das cordas.
💡 Dica: Utilize o teorema de Pitágoras para encontrar os comprimentos das cordas.
Alternativa por alternativa
Confundiu a distância ao centro com o comprimento da corda e tomou o raio (13 cm) como comprimento de CD, sem aplicar o teorema de Pitágoras.
Por que engana: O aluno pode confundir as distâncias das cordas ao centro, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras e obtendo valores errados para os comprimentos das cordas.
Comprimento da corda = 2·v(r² - d²). Para AB: 2v(13²-5²)=2v144=24. Para CD: 2v(13²-12²)=2v25=10.
Inverteu as distâncias ao centro entre as cordas e tomou o diâmetro (26 cm) como comprimento de CD, ignorando que a corda não passa necessariamente pelo centro.
Aplicou mal o teorema de Pitágoras, somando os quadrados em vez de subtraí-los, o que gera comprimentos maiores que o próprio diâmetro (26 cm), impossíveis no círculo.
Acreditou que a corda mais distante do centro deve ser a mais longa, quando ocorre o contrário; por isso associou a distância 12 cm a uma corda maior.
Raio-X da questão
comprimento de cordas em círculo
avaliacao
teorema de Pitágoras · comprimento de cordas
Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de círculos.
O aluno pode confundir as distâncias das cordas ao centro, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras e obtendo valores errados para os comprimentos das cordas.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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