Dois secantes partem de um ponto T fora de uma circunferência; os arcos interceptados são m(arc AC) = 5x+20° e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dois secantes partem de um ponto T fora de uma circunferência; os arcos interceptados são m(arc AC) = 5x+20° e m(arc BD) = 3x+8°. Se o ângulo entre as secantes ?ATC mede 26°, calcule x.
- A) x = 10, solução sem análise correta dos arcos.
- B) x = 15, erroneamente igual a um ângulo interno.
- C) x = 30, desconsidera o valor de 26° para o ângulo.
- D) x = 5, erroneamente diminui o valor da diferença dos arcos.
- E) x = 20
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o tipo de ângulo. O vértice T está fora da circunferência e os dois lados do ângulo são secantes, logo ATC é um ângulo externo.
- Use a relação do ângulo externo formado por duas secantes: a medida do ângulo é igual à semidiferença entre o arco maior e o arco menor interceptados, ou seja, (arco AC - arco BD)/2.
- Monte a equação com os dados: (5x+20 - (3x+8))/2 = 26.
- Simplifique o numerador: 5x+20-3x-8 = 2x+12. Então (2x+12)/2 = 26, que dá x+6 = 26.
- Resolva: x = 20.
- Verifique. Com x = 20, arco AC = 5(20)+20 = 120 graus e arco BD = 3(20)+8 = 68 graus. A diferença é 52 graus e a metade é 26 graus, que é o valor dado. Logo x = 20 está correto e coincide com o gabarito.
- Por que as outras estão erradas: A) x = 10 não satisfaz a relação, pois daria arcos de 70 e 38 graus e ângulo de 16 graus. B) x = 15 também não satisfaz, pois daria ângulo de 21 graus. C) x = 30 daria ângulo de 36 graus, diferente de 26. D) x = 5 daria ângulo de 5,5 graus, muito abaixo de 26.
💡 Dica: Utilize a relação entre ângulos e arcos em circunferências.
Alternativa por alternativa
Não estabeleceu a relação correta entre o ângulo externo e os arcos interceptados, tratando o ângulo como se dependesse de um arco isolado. Chegou a x = 10 sem sustentação na fórmula da diferença dos arcos.
Aplicou a fórmula do ângulo interno (metade da soma dos arcos) em vez da do ângulo externo (metade da diferença dos arcos), o que mostra confusão entre os dois casos.
Por que engana: Confundir a relação entre os ângulos formados e os arcos interceptados, aplicando incorretamente a fórmula do ângulo entre secantes.
Não usou o valor de 26 graus como condição da equação e tratou a diferença dos arcos sem relacioná-la ao ângulo dado. Assim, chegou a um x que não reproduz o ângulo do enunciado.
Errou o sinal ou a operação ao subtrair os arcos, reduzindo indevidamente a diferença entre 5x+20 e 3x+8. Com isso, a equação ficou desequilibrada e o resultado x = 5 não corresponde ao ângulo de 26 graus.
Fórmula: ângulo formado por duas secantes externas = ½(m(arc AC) - m(arc BD)). Assim 26 = ½((5x+20)-(3x+8)) ?26 = x+6 ? x = 20.
Raio-X da questão
ângulos formados por secantes
avaliacao
propriedades dos ângulos · teorema dos ângulos formados por secantes
Revisar a relação entre ângulos e arcos em circunferências.
Confundir a relação entre os ângulos formados e os arcos interceptados, aplicando incorretamente a fórmula do ângulo entre secantes.
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