Um dispositivo contém um radionuclídeo com vida média própria t0 = 20,0 dias (1 dia = 86 400 s). Ele deve…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar a evolução estelar associando-a aos modelos de origem e distribuição dos elementos químicos no Universo, compreendendo suas relações com as condições necessárias ao surgimento de sistemas solares e planetários, suas estruturas e composições e as possibilidades de existência de vida, utilizando representações e simulações, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um dispositivo contém um radionuclídeo com vida média própria t0 = 20,0 dias (1 dia = 86 400 s). Ele deve percorrer L = 2,00×10^11 m. Determine a velocidade mínima v (em m/s e em fração de c) necessária para que pelo menos 90,0% da amostra chegue ao destino, assumindo decaimento exponencial e dilatação t_lab = ?·t0. Use c = 3,00×10^8 m/s e ln(0,9) = -0,1053605.
- A) v_min = 2,00×10^7 m/s; velocidade altíssima necessária para 90%.
- B) v_min = 3,00×10^5 m/s; velocidade baixa suficiente para 90% chegarem.
- C) v_min = 0,01c; desprezando a dilatação do tempo.
- D) v_min ˜ 1,10×10^6 m/s ˜ 0,00366c.
- E) v_min = 1,00×10^6 m/s; é o mínimo para decair apenas 80%.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Dilatação do tempo: o tempo de vida no laboratório é t_lab = γ·t0, com γ = 1/raiz(1 - v²/c²). Para que pelo menos 90% chegue ao destino, a fração sobrevivente exp(-t_lab/(γ·t0)) = exp(-L/(v·γ·t0)) deve ser ≥ 0,9. Como o enunciado deixa 't_lab = ?·t0' em aberto, esse fator é justamente γ, que deve ser determinado nesta análise.
- Condição: L/(v·γ·t0) ≤ -ln(0,9) = 0,1053605. Com v = β·c, isso resulta em a/β ≤ raiz(1 - β²), em que a = L/(c·0,1053605·t0).
- Cálculos: t0 = 20,0 × 86 400 = 1,728×10^6 s. Então 0,1053605 × t0 ≈ 1,82×10^5 s, e c × 1,82×10^5 ≈ 5,46×10^13. Logo a = 2,00×10^11 / 5,46×10^13 ≈ 3,66×10^-3.
- Elevando ao quadrado, a² ≤ β² - β⁴. A raiz pequena dessa equação em x = β² é x ≈ a², portanto β_min ≈ a ≈ 3,66×10^-3, ou seja, v_min ≈ 3,66×10^-3 × 3,00×10^8 ≈ 1,10×10^6 m/s.
- Nessa velocidade β² é desprezível, então a dilatação praticamente não altera o resultado, mas ela foi considerada. Com isso, a alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial.
- A alternativa A está errada porque 2,00×10^7 m/s é muito maior que o necessário. A alternativa B está errada porque 3,00×10^5 m/s é insuficiente para cobrir a distância com 90% de sobrevivência. A alternativa C está errada porque o valor correto é cerca de 0,00366c, não 0,01c. A alternativa E está errada porque 1,00×10^6 m/s corresponde a outra fração de sobrevivência, não a 90%.
💡 Dica: Calcule a dilatação do tempo e a velocidade mínima usando a fórmula do decaimento exponencial.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que é preciso uma velocidade enorme para que a partícula chegue ao destino antes de decair, por isso chega a um valor muito acima do necessário. Ele provavelmente inverte a relação entre L/v e o tempo de vida ou erra a potência de dez.
O aluno acredita que uma velocidade baixa basta para que 90% da amostra chegue ao destino. Ele provavelmente calcula o tempo de voo com erro de unidade ou de potência de dez e obtém uma ordem de grandeza menor que a correta.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre a velocidade e a dilatação do tempo, escolhendo uma velocidade que não considera adequadamente o decaimento da amostra.
O aluno acredita que a velocidade necessária é 0,01c, ou seja, uma fração de c com ordem de grandeza diferente da correta. Ele provavelmente errou a conversão de dias para segundos ou arredondou de forma grosseira no cálculo de a.
Condição exp(-L/(v?t0)) = 0,9 ? L/(v?t0) = 0,1053605. Defina K = L/(0,1053605·t0·c). Então ?ß = K/c e ß = K/v(1+K^2). Com t0 = 20·86400 = 1,728×10^6 s e L = 2,00×10^11 m obtém-se v ˜ 1,10×10^6 m/s ˜ 0,00366c.
O aluno confunde a fração que deve sobreviver (90%) com a fração que decai (80%) e associa o resultado a outra condição. Ele também pode ter usado um valor de ln errado ao aplicar a condição de sobrevivência.
Raio-X da questão
dilatação do tempo
avaliacao
dilatação do tempo · decadência exponencial
Revisar os conceitos de dilatação do tempo e decaimento exponencial.
O aluno pode confundir a relação entre a velocidade e a dilatação do tempo, escolhendo uma velocidade que não considera adequadamente o decaimento da amostra.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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