Um polígono regular com n = 10 lados está inscrito numa circunferência de raio R = 5 cm. Calcule (a) o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e desenhá-los, utilizando material de desenho ou tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um polígono regular com n = 10 lados está inscrito numa circunferência de raio R = 5 cm. Calcule (a) o comprimento do lado do polígono e (b) a área do polígono. Apresente fórmulas e valores numéricos (use senos em graus).
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Modelo de resolução: 1) Ângulo central = 360°/n = 360°/10 = 36°. Metade do triângulo isósceles central tem ângulo de 18°. 2) Comprimento do lado s: s = 2R·sin(18°). Substituindo R=5 cm: s = 10·sin(18°) ˜ 10·0,30901699 ˜ 3,0902 cm. 3) Área do polígono: pode-se somar áreas de 10 triângulos isósceles com vértice no centro: A = (1/2)·n·R^2·sin(2p/n) = (1/2)·10·5^2·sin(36°) = 125·sin(36°) ˜ 125·0,587785 ˜ 73,473 cm². Resposta final: (a) s = 10·sin(18°) ˜ 3,090 cm; (b) A = 125·sin(36°) ˜ 73,47 cm².
Explicação
O cálculo do comprimento do lado do polígono utiliza a relação entre o raio da circunferência e o seno do ângulo central, permitindo determinar a medida do lado. Para a área, a fórmula considera a soma das áreas dos triângulos isósceles formados, utilizando a função seno para calcular a altura desses triângulos. Assim, as fórmulas aplicadas garantem a precisão dos resultados, refletindo as propriedades geométricas do polígono regular inscrito.
Raio-X da questão
polígono regular
avaliacao
fórmulas de polígonos · funções trigonométricas
Revisar as fórmulas de comprimento de lado e área de polígonos regulares.
O aluno pode confundir a fórmula do comprimento do lado do polígono com a fórmula da área, resultando em um cálculo incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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