Em uma circunferência de centro O, os pontos A e B pertencem à borda e t é tangente no ponto A. A medida do…

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A e B pertencem à borda e t é tangente no ponto A. A medida do arco menor AB é 120°. (a) Determine o ângulo formado entre a tangente t e a corda AB. (b) Demonstre, geometricamente, por que o ângulo entre uma tangente e a corda é igual à metade da medida do arco interceptado.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Seja O o centro. O ângulo central AOB subtende o arco AB, então m?AOB = 120°. No triângulo AOB, lados OA = OB (raios), logo os ângulos na base OAB e OBA valem (180°-120°)/2 = 30°. A tangente t em A é perpendicular ao raio OA, portanto o ângulo entre t e a corda AB é 90° - ?OAB = 90° - 30° = 60°. (b) Demonstração geral: seja t tangente em A e B um outro ponto na circunferência; considere o triângulo AOB com O centro. O ângulo central AOB mede m(arc AB). Os ângulos na base OAB e OBA medem (180°-m(arc AB))/2. Como a tangente é perpendicular a OA, o ângulo entre a tangente e a corda AB é 90° - ?OAB = 90° - (180°-m(arc AB))/2 = m(arc AB)/2. Assim, o ângulo entre tangente e corda é metade da medida do arco interceptado.

Explicação

O ângulo formado entre a tangente e a corda é calculado utilizando a relação entre ângulos centrais e ângulos insulares, onde a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. A demonstração mostra que o ângulo entre a tangente e a corda é sempre igual à metade do arco interceptado, uma propriedade fundamental da geometria das circunferências. Essa relação é válida para qualquer arco e tangente, evidenciando a consistência das propriedades angulares em círculos.

Raio-X da questão

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