Prove que, numa circunferência de centro O, o ângulo formado entre a tangente t no ponto A e a corda AB é…

Questão

Prove que, numa circunferência de centro O, o ângulo formado entre a tangente t no ponto A e a corda AB é igual à metade da medida do arco AB. Em seguida, calcule numericamente esse ângulo quando a medida do arco AB é 84°.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja t a tangente em A e OA o raio: OA ? t. Considere o triângulo OAB; como OA = OB (raios), o triângulo é isósceles e os ângulos na base são iguais: ?OAB = ?OBA = (180° - ?AOB)/2. O ângulo entre a tangente e a corda AB é 90° - ?OAB. Portanto: ângulo entre t e AB = 90° - ?OAB = 90° - (180° - ?AOB)/2 = ?AOB/2. Como ?AOB é o ângulo central correspondente ao arco AB, sua medida é igual à medida do arco AB; daí o ângulo entre a tangente e a corda AB = 1/2·(medida do arco AB). Para arco AB = 84°, o ângulo vale 84°/2 = 42°.

Explicação

A relação entre o ângulo formado pela tangente e a corda e o ângulo central é uma propriedade fundamental das circunferências, demonstrando que o ângulo entre a tangente e a corda é sempre a metade do ângulo central correspondente ao arco. No caso específico em que a medida do arco é 84°, a aplicação dessa propriedade resulta em um ângulo de 42°. Essa relação é válida para qualquer medida de arco, confirmando a consistência da teoria.

Raio-X da questão

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