Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B e C pertencem à circunferência. Sabe-se que o arco BC mede…

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B e C pertencem à circunferência. Sabe-se que o arco BC mede 2x+20° e que o triângulo ABC é retângulo em A. A tangente à circunferência em A encontra a reta BC prolongada em T. Sabendo AB = 8 cm e AC = 6 cm: (a) determine x e as medidas dos ângulos do triângulo ABC; (b) calcule o comprimento BT, justificando por semelhança de triângulos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como ?A é inscrito e subtende o arco BC, ?A = ½·(arco BC). Como o triângulo é retângulo em A, ?A = 90°. Logo 90 = ½(2x+20) ? 90 = x+10 ? x = 80. 2) Medidas dos ângulos: ?A = 90°. ?B = ½·(arco AC) e ?C = ½·(arco AB), mas para o triângulo retângulo os ângulos agudos satisfazem ?B+?C=90°. Podemos calcular diretamente usando arcos não fornecidos; alternativamente obter ângulos internos pelo triângulo retângulo com lados dados: usando c = hipotenusa BC = v(AB²+AC²) = v(64+36)=10 cm. Então os ângulos podem ser obtidos por razões trigonométricas: ?B = arctan(AC/AB)=arctan(6/8) ˜36.87°, ?C ˜53.13° (confere soma 90°). 3) Semelhança: pelo teorema do setor alternado, o ângulo entre a tangente em A e o cordão AB é igual ao ângulo inscrito que subtende o mesmo arco (?ACB). Assim, em triângulos ?TAB e ?ACB temos ângulo em A de TAB igual a ?ACB e ângulo em B de TAB igual a ?ABC (pois T está sobre a extensão de BC). Portanto ?TAB ~ ?ACB com correspondência T?A, A?C, B?B. Da semelhança segue TB/AC = AB/CB. Substituindo valores: CB = 10 cm, AC = 6 cm, AB = 8 cm ? TB = AC·(AB/CB) = 6·(8/10) = 4.8 cm. 4) Conclusão: x = 80; ângulos do triângulo ˜ 90°, 36.87°, 53.13°; BT = 4,8 cm. Recomenda-se usar software de geometria dinâmica para traçar tangente e verificar a semelhança visualmente e medir segmentos.

Explicação

A resolução utiliza propriedades de triângulos retângulos e ângulos inscritos, aplicando a relação entre ângulos e arcos para encontrar o valor de x e as medidas dos ângulos. A semelhança de triângulos é demonstrada através do teorema do setor alternado, permitindo calcular o comprimento de BT com base nas proporções dos lados correspondentes. A aplicação de razões trigonométricas e a verificação das relações geométricas garantem a precisão dos resultados obtidos.

Raio-X da questão

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