Considere o sistema Terra-Lua: M_terra = 5,97×10^24 kg, M_lua = 7,35×10^22 kg, distância entre centros r =…

Questão

Considere o sistema Terra-Lua: M_terra = 5,97×10^24 kg, M_lua = 7,35×10^22 kg, distância entre centros r = 3,84×10^8 m. Use G = 6,67×10^-11 N·m²/kg². A partir das leis da gravitação e do movimento orbital, calcule e explique: (a) a força gravitacional entre Terra e Lua (F = G M1 M2 / r^2); (b) a velocidade orbital média da Lua (v = v(G M_terra / r)); (c) o período orbital T = 2p r / v; (d) a posição do centro de massa do sistema em relação ao centro da Terra (a = r·M_lua/(M_terra+M_lua)); (e) descreva quantitativamente o que muda em v, T e no CM se a Lua for substituída por um satélite de massa m = 1,0×10^3 kg, e o que acontece se a massa da Terra diminuir 1% (M_terra' = 0,99 M_terra). Mostre todos os cálculos e explique as implicações físicas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta modelo (resumo dos cálculos): F = G M_terra M_lua / r^2 = 6,67×10^-11·5,97×10^24·7,35×10^22 /(3,84×10^8)^2 ˜ 1,98×10^20 N. v = v(G M_terra / r) ˜ 1,02×10^3 m/s. T = 2p r / v ˜ 2,37×10^6 s ˜ 27,5 dias. CM = r·M_lua/(M_terra+M_lua) ˜ 4,67×10^6 m (dentro da Terra). Se M_lua ? 1,0×10^3 kg: CM˜0 (praticamente no deslocamento), v e T (para mesma r) praticamente iguais; se M_terra' = 0,99M_terra então v' = v0,99·v ˜ 0,995v (˜0,5% menor) e T' ˜ 1/v0,99·T (˜0,5% maior).

Explicação

Os cálculos demonstram a aplicação das leis da gravitação e do movimento orbital, resultando na força gravitacional, velocidade orbital e período da Lua em relação à Terra. A análise da substituição da Lua por um satélite de menor massa mostra que, devido à sua insignificância em comparação com a Terra, as variáveis de movimento permanecem praticamente inalteradas. Além disso, a diminuição da massa da Terra em 1% impacta levemente a velocidade e o período orbital, ilustrando a sensibilidade do sistema às mudanças nas massas envolvidas.

Raio-X da questão

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