Retas r e s são paralelas e cortam uma circunferência nos pares de pontos A,B (em r) e C,D (em s), nesta ordem…

Questão

Retas r e s são paralelas e cortam uma circunferência nos pares de pontos A,B (em r) e C,D (em s), nesta ordem ao percorrer a circunferência. Uma transversal t passa por E, ponto exterior à circunferência, formando com as secantes o ângulo externo ?E. Sabe-se que m(arc AD)=3x+30 e m(arc BC)=x+10 e que m(?E)=40°. a) Demonstre que m(?E)=½[m(arc AD) - m(arc BC)]. b) Calcule x e as medidas dos arcos AD e BC e verifique m(?E).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Para dois segmentos secantes que partem de E, o ângulo externo formado vale metade da diferença dos arcos interceptados: m(?E)=½(m(arc AD)-m(arc BC)). Substituindo os arcos: m(?E)=½((3x+30)-(x+10))=½(2x+20)=x+10. Como m(?E)=40°, temos x+10=40 ? x=30. Assim m(arc AD)=3·30+30=120° e m(arc BC)=30+10=40°. Verificação: ½(120-40)=½·80=40°, consistente.

Explicação

A relação entre o ângulo externo e os arcos interceptados é uma propriedade fundamental das secantes em circunferências, que estabelece que o ângulo externo é igual à metade da diferença dos arcos. Ao substituir as expressões dadas para os arcos na fórmula, é possível determinar o valor de x e, consequentemente, as medidas dos arcos. A verificação final confirma que o cálculo do ângulo externo está de acordo com a propriedade, assegurando a consistência dos resultados.

Raio-X da questão

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