Em um círculo de centro O, o ângulo central AOB mede 7x+4°. O ângulo inscrito ACB que intercepta o mesmo arco…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um círculo de centro O, o ângulo central AOB mede 7x+4°. O ângulo inscrito ACB que intercepta o mesmo arco AB mede 3x+10°. Determine x.
- A) x = 2/11 (assumiu 3x+10 = 2·(7x+4))
- B) x = 1.5 (assumiu ângulo inscrito igual ao central: 3x+10=7x+4)
- C) x = 16
- D) x = 83/5 (assumiu inscrito+central=180: 3x+10+7x+4=180)
- E) x = -13 (assumiu inscrito = central/3: 3x+10=(7x+4)/3)
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Lembre a relação entre ângulo central e ângulo inscrito que interceptam o mesmo arco: o ângulo central mede o dobro do ângulo inscrito correspondente. Ou seja, central = 2 · inscrito.
- Monte a equação com os dados do enunciado: 7x+4 = 2·(3x+10).
- Resolva: 7x+4 = 6x+20, logo 7x-6x = 20-4, então x = 16.
- Verifique: para x = 16, o ângulo central AOB mede 7·16+4 = 116° e o inscrito ACB mede 3·16+10 = 58°. Como 2·58 = 116, a relação está correta.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A inverte a relação, colocando o inscrito como o dobro do central. B iguala os dois ângulos, o que só ocorreria se fossem ambos ângulos centrais ou inscritos do mesmo tipo. D usa a soma 180°, que vale para ângulos opostos de um quadrilátero inscrito, não para central e inscrito sobre o mesmo arco. E coloca o inscrito como um terço do central, proporção que não corresponde ao teorema.
- Conclusão: x = 16, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use que o ângulo central mede o dobro do ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco.
Alternativa por alternativa
Inverteu a relação do teorema, supondo que o ângulo inscrito é o dobro do central (3x+10 = 2·(7x+4)). Assim, o aluno deduz x = 2/11.
Acreditou que o ângulo central e o inscrito sobre o mesmo arco são iguais (3x+10 = 7x+4), o que leva a x = 1,5. Esse erro ignora que o central tem o dobro da medida.
Por que engana: O aluno pode igualar diretamente o ângulo central ao inscrito, ou inverter a relação de dobro, sem considerar que ambos interceptam o mesmo arco.
O ângulo inscrito é metade do ângulo central que subtende o mesmo arco: 3x+10 = (7x+4)/2 ? 6x+20 =7x+4 ? x=16.
Aplicou a regra de soma de 180° de quadriláteros inscritos (ângulos opostos) a central e inscrito sobre o mesmo arco, obtendo 10x+14 = 180 e x = 83/5. Confundiu uma propriedade com outra.
Supôs que o ângulo inscrito é um terço do central (3·(3x+10) = 7x+4), o que daria x = -13. A proporção está errada e ainda gera um valor negativo, sem sentido para medida de ângulo.
Raio-X da questão
Ângulo central e inscrito
avaliacao
Equações do primeiro grau · Relações entre ângulos
Revise a relação entre as medidas dos ângulos central e inscrito que interceptam o mesmo arco.
O aluno pode igualar diretamente o ângulo central ao inscrito, ou inverter a relação de dobro, sem considerar que ambos interceptam o mesmo arco.
tomada_decisao
abstrato
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