Demonstre, usando argumentos geométricos e relações angulares, que um ângulo inscrito em um círculo tem medida…

Questão

Demonstre, usando argumentos geométricos e relações angulares, que um ângulo inscrito em um círculo tem medida igual à metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Apresente passo a passo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja O o centro e A,B,C pontos na circunferência; ângulo inscrito ?ABC intercepta o arco AC e o ângulo central ?AOC subtende o mesmo arco. Traçando OA e OC, OA=OC (raios), logo ?OAB e ?OCB são isósceles e ?BAO=?OBA, ?BCO=?OCB. Então ?ABC=?BAO+?BCO. O ângulo central ?AOC=2·?BAO+2·?BCO=2(?BAO+?BCO)=2·?ABC. Portanto, o inscrito mede metade do central.

Explicação

A explicação utiliza propriedades dos ângulos em triângulos isósceles formados por raios do círculo, mostrando que os ângulos na base são iguais. Ao somar os ângulos da figura, a relação entre o ângulo central e o ângulo inscrito se torna evidente, demonstrando que o ângulo inscrito é sempre metade do ângulo central. Essa relação é fundamental na geometria dos círculos e é amplamente aceita como uma propriedade básica.

Raio-X da questão

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