Prove que, em uma circunferência, a medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central…

Questão

Prove que, em uma circunferência, a medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central que intercepta o mesmo arco. Forneça demonstração completa usando semelhança de triângulos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Sejam A,B,C pontos da circunferência e O o centro. Traçar OC. Nos triângulos OCA e OCB, OA=OB=OC (raízes iguais), então ?OAC = ?ACO = a e ?OBC = ?BCO = ß. O ângulo inscrito ?ACB = a+ß. O ângulo central ?AOB = 2a+2ß = 2(a+ß). Portanto ?ACB = ½·?AOB. Assim, o ângulo inscrito é metade do central que intercepta o mesmo arco.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos formados pelos raios da circunferência e os ângulos inscritos e centrais, mostrando que os ângulos têm relações proporcionais. A igualdade das medidas dos ângulos é estabelecida através da soma dos ângulos internos dos triângulos, levando à conclusão de que o ângulo inscrito é sempre a metade do ângulo central correspondente. Essa relação é válida para qualquer arco da circunferência, confirmando a propriedade desejada.

Raio-X da questão

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