Durante uma atividade de Matemática em uma praça brasileira, estudantes mediram a sombra projetada por uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante uma atividade de Matemática em uma praça brasileira, estudantes mediram a sombra projetada por uma árvore em um momento em que os raios solares formavam um ângulo de 30° com o solo. A sombra tinha 5 metros de comprimento. Considerando a árvore perpendicular ao solo e desprezando a espessura de sua copa, a situação pode ser representada por um triângulo retângulo, no qual a altura da árvore é o cateto oposto ao ângulo de 30° e o comprimento da sombra é o cateto adjacente. Com base no texto, qual era a altura aproximada da árvore?
- A) 2,50 metros
- B) 4,33 metros
- C) 5,00 metros
- D) 2,89 metros
- E) 8,66 metros
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O ângulo de elevação dos raios solares é 30°, a sombra (cateto adjacente ao ângulo) mede 5 m, e a altura da árvore (cateto oposto ao ângulo) é a incógnita x.
- Escolha a razão trigonométrica. A razão que relaciona cateto oposto e cateto adjacente é a tangente: tg(ângulo) = cateto oposto / cateto adjacente.
- Monte a equação. tg(30°) = x / 5, logo x = 5 · tg(30°).
- Calcule. Sabe-se que tg(30°) = raiz de 3 / 3, que é aproximadamente 0,577. Então x = 5 · 0,577 = 2,885, ou seja, cerca de 2,89 m.
- Compare com as alternativas. A alternativa D (2,89 metros) é a correta, e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A (2,50 m) usa o seno de 30° (1/2) no lugar da tangente. B (4,33 m) usa o cosseno de 30° (aproximadamente 0,866), que relaciona o cateto adjacente à hipotenusa, e não à altura. C (5,00 m) supõe que a altura seria igual ao comprimento da sombra, ignorando o ângulo. E (8,66 m) inverte a razão, calculando 5 / tg(30°), o que dá o cateto adjacente em função do oposto.
💡 Dica: Utilize a tangente do ângulo para calcular a altura.
Alternativa por alternativa
O aluno multiplica a sombra pelo seno de 30° (1/2) em vez da tangente, tratando o cateto oposto como se fosse ligado à hipotenusa.
O aluno usa o cosseno de 30° (aproximadamente 0,866) para calcular o cateto oposto, confundindo a razão que envolve o cateto adjacente com a que envolve o cateto oposto.
O aluno supõe que a altura da árvore é igual ao comprimento da sombra, ignorando que o ângulo de 30° determina uma altura menor que a sombra.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, utilizando a tangente em vez do seno para calcular a altura.
No triângulo retângulo, deve-se relacionar a altura da árvore, que é o cateto oposto, com o comprimento da sombra, que é o cateto adjacente. Assim, tan(30°) = altura/5. Como tan(30°) = √3/3, temos altura = 5 · √3/3 ≈ 2,89 metros.
O aluno inverte a razão trigonométrica e calcula 5 / tg(30°), o que resultaria em aproximadamente 8,66 m, fazendo a divisão no lugar da multiplicação.
Raio-X da questão
triângulos retângulos
avaliacao
triângulos retângulos · função trigonométrica seno
Revisar as relações trigonométricas em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, utilizando a tangente em vez do seno para calcular a altura.
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