Em uma ação de educação ambiental, estudantes mediram a sombra projetada por uma árvore em um terreno plano…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma ação de educação ambiental, estudantes mediram a sombra projetada por uma árvore em um terreno plano. No momento da medição, a sombra tinha 5 m de comprimento. Considerando a árvore vertical em relação ao solo, o segmento que liga o topo da árvore à extremidade da sombra formava um ângulo de 60° com o solo. Despreze a espessura da árvore e considere v3 ˜ 1,73. Com base nessas informações, qual era, aproximadamente, a altura da árvore?
- A) 5 m
- B) 5√3/3 m
- C) 10 m
- D) 5√3/2 m
- E) 5√3 m
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo retângulo formado pela árvore (cateto vertical, altura h), pela sombra no solo (cateto horizontal, 5 m) e pelo segmento do topo até a extremidade da sombra (hipotenusa). O ângulo de 60° é formado entre a sombra e a hipotenusa, na extremidade da sombra.
- Escolha a razão trigonométrica certa. A altura é o cateto oposto ao ângulo de 60°, e a sombra é o cateto adjacente a esse ângulo. Logo, usa-se a tangente: tg(60°) = altura / sombra.
- Substitua os valores. tg(60°) = raiz de 3, então altura = 5 × raiz de 3 = 5√3 m. Com v3 ≈ 1,73, a altura é aproximadamente 5 × 1,73 = 8,65 m.
- Compare com as alternativas. A alternativa E (5√3 m) é a correta, e o gabarito oficial está certo.
- Por que as outras estão erradas: A) a sombra de 5 m não é a altura da árvore; B) 5√3/3 m é o resultado de 5 dividido por raiz de 3, que usa a tangente de 30° ou inverte a razão; C) 10 m é o comprimento da hipotenusa (5 / cos 60° = 10), não a altura; D) 5√3/2 m é 5 × sen 60°, que usa seno em vez de tangente.
💡 Dica: Utilize a trigonometria para encontrar a altura da árvore.
Alternativa por alternativa
Assume que a altura da árvore é igual ao comprimento da sombra, ignorando o ângulo de elevação de 60°. Trata o triângulo como isósceles.
Divide a sombra pela tangente de 60° (5 / raiz de 3), o que equivale a inverter a razão ou usar tangente de 30°. Confunde o cateto oposto com o adjacente.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando a tangente em vez da altura correta usando o seno ou cosseno.
Toma o segmento inclinado (hipotenusa, 10 m, obtido de 5 / cos 60°) como sendo a altura da árvore. Não distingue a hipotenusa do cateto vertical.
Usa o seno de 60° em vez da tangente, calculando 5 × sen 60°. Assim, mistura a razão que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa com a que relaciona os catetos.
A árvore, a sombra e o segmento que liga o topo à extremidade da sombra formam um triângulo retângulo. Em relação ao ângulo de 60°, a altura é o cateto oposto e a sombra é o cateto adjacente. Assim, tg 60° = altura/5. Como tg 60° = √3, a altura é 5√3 m, aproximadamente 8,65 m.
Raio-X da questão
altura da árvore
avaliacao
triângulo retângulo · funções trigonométricas
Revisar as relações trigonométricas no triângulo retângulo.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando a tangente em vez da altura correta usando o seno ou cosseno.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
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