Em uma loja, o preço de um produto é representado pela equação de segundo grau P(x) = x² - 5x + 6. Qual é a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma loja, o preço de um produto é representado pela equação de segundo grau P(x) = x² - 5x + 6. Qual é a solução para o preço em função de suas raízes?
- A) (x - 2)(x - 3)
- B) (x - 1)(x - 6)
- C) x(x - 6)
- D) (x + 2)(x + 3)
- E) (x - 4)(x - 2)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A função P(x) = x² - 5x + 6 é um trinômio do segundo grau com a = 1, b = -5 e c = 6. Ao resolver a questão por conta própria, o objetivo é encontrar as raízes, isto é, os valores de x para os quais P(x) = 0. Passo 2: Procuramos dois números cuja soma seja 5 (o coeficiente de x, com sinal trocado) e cujo produto seja 6 (o termo independente). Os números 2 e 3 satisfazem as duas condições: 2 + 3 = 5 e 2 × 3 = 6. Passo 3: Logo, as raízes são x = 2 e x = 3. Como o polinômio de grau 2 com raízes r1 e r2 e coeficiente líder 1 se escreve como (x - r1)(x - r2), temos P(x) = (x - 2)(x - 3). Passo 4: Confira expandindo: (x - 2)(x - 3) = x² - 3x - 2x + 6 = x² - 5x + 6, que é exatamente o polinômio dado. Passo 5: Comparando com o gabarito oficial, a alternativa A coincide com a resolução obtida, portanto o gabarito está correto. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa B tem soma das raízes 7, não 5; a alternativa C tem raiz zero, o que exigiria termo independente nulo; a alternativa D tem raízes -2 e -3, o que daria x² + 5x + 6, com sinal trocado no termo do meio; a alternativa E tem produto 8, não 6, e soma 6, não 5.
💡 Dica: Encontre dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja 5.
Alternativa por alternativa
A fatoração correta da equação é (x - 2)(x - 3).
O aluno encontrou dois números cujo produto é 6 (1 e 6), mas não verificou se a soma também batia com 5; ele escolheu a fatoração pelo termo independente apenas.
Por que engana: Confundir os sinais ou escolher fatores cujo produto dos termos constantes não seja 6 ou cuja soma dos coeficientes não corresponda a -5.
O aluno fatorou apenas parte do polinômio, tirando x em evidência, e ignorou o termo independente 6, como se P(x) não tivesse esse termo.
O aluno confundiu o sinal das raízes com o sinal dos coeficientes: achou que, como o coeficiente de x é negativo, as raízes deveriam ser negativas, e assim obteve x² + 5x + 6.
O aluno escolheu números que não respeitam as relações de Girard: 4 e 2 têm produto 8 e soma 6, e não produto 6 e soma 5.
Raio-X da questão
Fatoração de equação quadrática
diagnostico
Produtos e soma de números · Fatoração de trinômios quadráticos
Revise a fatoração de trinômios do segundo grau e a relação entre raízes, soma e produto.
Confundir os sinais ou escolher fatores cujo produto dos termos constantes não seja 6 ou cuja soma dos coeficientes não corresponda a -5.
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tomada_decisao
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