Uma escada encostada em uma parede forma um ângulo de 45° com o chão e alcança 10v2 cm de altura. Qual é o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma escada encostada em uma parede forma um ângulo de 45° com o chão e alcança 10v2 cm de altura. Qual é o comprimento da escada?
- A) 10√2 cm
- B) 30 cm
- C) 20 cm
- D) 20√2 cm
- E) 10 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identificar o triângulo. A parede, o chão e a escada formam um triângulo retângulo. A altura (cateto oposto ao ângulo de 45°) mede 10√2 cm, e o comprimento da escada é a hipotenusa, que é o que se pede.
- Escolher a razão trigonométrica. Como relacionamos o cateto oposto com a hipotenusa, usamos o seno: seno(45°) = altura / comprimento.
- Montar a equação. Sabemos que seno(45°) = √2/2, então √2/2 = 10√2 / L.
- Resolver. Multiplicando cruzado: L · √2 = 2 · 10√2, logo L · √2 = 20√2, e portanto L = 20 cm.
- Conferir. Com L = 20 cm, a altura seria 20 · √2/2 = 10√2 cm, que é o valor do enunciado. Logo a resposta correta é a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 10√2 cm é a própria altura, não o comprimento da escada. B) 30 cm não corresponde a nenhuma relação trigonométrica válida com esses dados. D) 20√2 cm resultaria de tratar sen(45°) como 1/2. E) 10 cm resultaria de multiplicar a altura pelo seno em vez de dividir por ele.
💡 Dica: Utilize o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da escada.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde a altura com o comprimento da escada, achando que a hipotenusa é igual ao cateto dado. Não percebe que a escada é a diagonal do triângulo, que sempre é maior que qualquer cateto.
O aluno aplica uma relação que não corresponde ao ângulo de 45°, por exemplo somando ou multiplicando valores de forma arbitrária, chegando a 30 cm sem base trigonométrica.
A escada é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Em um ângulo de 45°, a altura é metade da escada vezes √2: 10√2 = comprimento × √2 ÷ 2. Portanto, o comprimento da escada é 20 cm.
O aluno trata sen(45°) como se fosse 1/2 (valor de sen(30°)), obtendo L = 2 · 10√2 = 20√2 cm.
O aluno multiplica a altura pelo seno de 45° em vez de dividir, fazendo 10√2 · √2/2 = 10 cm, ou seja, inverte a relação entre os lados.
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras
avaliacao
triângulos retângulos · teorema de Pitágoras
Revisar o teorema de Pitágoras e suas aplicações em triângulos retângulos.
Confundir a altura da escada com o comprimento, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
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