Durante uma competição de matemática, os alunos descobriram que a raiz quadrada de um número irracional é um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante uma competição de matemática, os alunos descobriram que a raiz quadrada de um número irracional é um número que não pode ser representado como uma fração. O que isso significa em termos de números reais?
- A) É parte dos números racionais.
- B) Representam frações simples.
- C) Têm representação decimal periódica.
- D) Têm representação decimal infinita e não periódica.
- E) São números inteiros apenas.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- O enunciado diz que a raiz quadrada de um número irracional não pode ser escrita como fração. Isso define um número irracional: ele não é quociente de dois inteiros com denominador não nulo.
- Pela teoria dos números reais, todo número real tem representação decimal. Os racionais têm decimal finita ou infinita periódica (dízima periódica). Como o irracional não é fração, sua expansão decimal é infinita e não periódica.
- Logo, a alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial. Ela afirma exatamente que a representação decimal é infinita e não periódica.
- Por que as outras estão erradas: A) está errada porque irracionais são justamente os números que não pertencem aos racionais; B) está errada porque números que são frações simples são racionais, o oposto do que o enunciado descreve; C) está errada porque dízimas periódicas são racionais, pois podem ser escritas como fração; E) está errada porque inteiros são racionais (escritos como fração com denominador 1), e nem todo irracional é inteiro.
- Observação: a raiz quadrada de um irracional também é irracional, pois se a raiz fosse racional q, o número original seria q^2, que também seria racional, o que contradiz a hipótese.
💡 Dica: Considere as definições de números racionais e irracionais.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde o conjunto dos irracionais com um subconjunto dos racionais, achando que qualquer número real 'sem forma simples' ainda faz parte dos racionais.
O aluno acredita que irracionais são frações simples, talvez por associar a palavra 'fração' à ideia de número 'não inteiro' ou por não distinguir o que pode e o que não pode ser escrito como fração.
O aluno associa números irracionais às dízimas periódicas, que são racionais, e confunde a ideia de 'padrão repetitivo' com a ideia de 'não ser fração'.
Por que engana: Confundir números irracionais com números racionais, acreditando que eles podem ser representados como frações.
Esta é a definição dos números irracionais.
O aluno acredita que, por não serem frações, os números devem ser inteiros, e assim restringe o conceito a números inteiros, esquecendo que o conjunto dos inteiros está contido nos racionais.
Raio-X da questão
números irracionais
diagnostico
números racionais e irracionais · raiz quadrada
Revisar a definição de números racionais e irracionais.
Confundir números irracionais com números racionais, acreditando que eles podem ser representados como frações.
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