Em uma aula de arte, Laura desenhou um quadrado com lados de 1 metro. A medida da diagonal desse quadrado pode…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma aula de arte, Laura desenhou um quadrado com lados de 1 metro. A medida da diagonal desse quadrado pode ser representada como v2 metros. Qual é o tipo de número que representa o comprimento da diagonal?
- A) Um número inteiro
- B) Um número racional
- C) Um número irracional
- D) Um número natural
- E) Um número complexo
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- O quadrado tem lados de 1 metro. Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal d satisfaz d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, logo d = raiz de 2 metros, que é aproximadamente 1,41421356... metros, consistente com a representação v2 (raiz quadrada de 2) do enunciado.
- Um número é racional quando pode ser escrito como fração p/q com p e q inteiros e q diferente de zero. Um número é irracional quando não pode ser escrito dessa forma, o que equivale a ter representação decimal infinita e não periódica.
- Demonstração clássica de que raiz de 2 é irracional: suponha raiz de 2 = p/q com fração irredutível. Então 2 = p^2/q^2, logo p^2 = 2q^2, o que faz p^2 par e, portanto, p par. Escrevendo p = 2k, temos 4k^2 = 2q^2, ou seja, q^2 = 2k^2, e q também seria par. Isso contradiz a irredutibilidade da fração. Logo raiz de 2 é irracional.
- Portanto, o comprimento da diagonal é um número irracional, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) raiz de 2 não é inteiro, pois está entre 1 e 2; B) não é racional, pelo que foi demonstrado; D) não é natural, pois não é um número de contagem; E) números complexos incluem os reais, mas o comprimento é um real positivo, então a classificação mais específica e correta é irracional.
💡 Dica: Considere a relação entre os lados e a diagonal do quadrado.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a raiz de 2 é um número inteiro, talvez por confundir raiz quadrada com um valor exato e simples, sem verificar que 1^2 = 1 e 2^2 = 4 deixam o valor entre 1 e 2.
O aluno supõe que todo número que aparece como raiz quadrada ou fração é racional, ou que qualquer número com representação em radical pode ser escrito como fração, sem perceber que raiz de 2 não tem representação decimal exata nem periódica.
Por que engana: Confundir números racionais com irracionais, acreditando que a raiz quadrada de 2 é um número que pode ser expresso como fração.
v2 é um número que não pode ser expresso como fração.
O aluno associa a medida de um comprimento positivo aos números naturais, esquecendo que a diagonal não é um valor de contagem e que o resultado da raiz de 2 não é inteiro.
O aluno pensa que, por ser um número 'mais amplo' que os reais, o número complexo é a classificação correta, sem perceber que o comprimento é um real positivo e que a classificação específica pedida é irracional.
Raio-X da questão
diagonal do quadrado
avaliacao
propriedades dos números · tipos de números
Revisar as propriedades dos quadrados e a relação entre lados e diagonais.
Confundir números racionais com irracionais, acreditando que a raiz quadrada de 2 é um número que pode ser expresso como fração.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cotidiano
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