MatemáticaENEMDifícil⏱ longo

Explique como se demonstra que a raiz quadrada de 2 é irracional. Inclua os passos da demonstração.

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Questão

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A raiz quadrada de 2 é irracional pois não pode ser expressa como uma fração a/b, onde a e b são inteiros. Se supusermos que v2 = a/b e elevamos ao quadrado, obtemos 2 = a²/b², resultando em a² = 2b². Isso implica que a² é par, logo a também é par, e podemos escrever a = 2k. Substituindo, temos 4k² = 2b², o que implica que b² também é par, logo b é par. Isso leva à contradição, pois tanto a quanto b não podem ser pares ao mesmo tempo. Portanto, v2 é irracional.

Explicação

A demonstração utiliza o método da contradição, assumindo que a raiz quadrada de 2 pode ser expressa como uma fração. Ao mostrar que essa suposição leva à conclusão de que tanto o numerador quanto o denominador devem ser pares, o que é impossível, a irracionalidade da raiz quadrada de 2 é confirmada. Essa abordagem lógica e sistemática é fundamental para estabelecer a natureza irracional de números como a raiz quadrada de 2.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

irracionalidade da raiz quadrada

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

números racionais e irracionais · propriedades da raiz quadrada

📚 Reveja

Revisar a definição de números irracionais e suas propriedades.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a definição de números racionais, acreditando que a raiz quadrada de 2 pode ser expressa como uma fração simples.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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