Matemática3ª sérieDifícil⏱ medio

Explique como você poderia de forma prática demonstrar que a raiz quadrada de 2 é um número irracional.

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Questão

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Uma forma prática de demonstrar que v2 é irracional é pela contradição. Suponha que v2 seja racional, ou seja, pode ser expresso como a/b, onde a e b são inteiros e não têm fatores comuns, e b ? 0. Ao elevar ambos os lados ao quadrado, teríamos 2 = a²/b², o que implica que a² = 2b². Isso mostra que a² é par, logo a também é par. Se a é par, podemos escrever a = 2k. Substituindo na equação, temos (2k)² = 2b², levando a 4k² = 2b², ou seja, b² = 2k², mostrando que b também é par. Portanto, tanto a quanto b são pares, o que contradiz nossa suposição inicial de que não têm fatores comuns. Assim, v2 é irracional.

Explicação

A explicação utiliza o método da contradição, que é uma abordagem clássica para provar a irracionalidade. Ao assumir que a raiz quadrada de 2 é racional e chegar à conclusão de que tanto o numerador quanto o denominador devem ser pares, a resposta demonstra que essa suposição inicial é falsa. Assim, a conclusão de que a raiz quadrada de 2 é irracional é validada.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Criar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

número irracional

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

números racionais e irracionais · raiz quadrada

📚 Reveja

Revisar a definição de números irracionais e suas propriedades.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a definição de números racionais e irracionais, afirmando que a raiz quadrada de 2 é um número racional por não entender a impossibilidade de expressá-la como uma fração.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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