Durante a preparação para uma competição escolar, uma equipe demarcou uma área quadrada de treinamento com 10…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a preparação para uma competição escolar, uma equipe demarcou uma área quadrada de treinamento com 10 metros de lado. Para instalar uma faixa em sua diagonal, calculou seu comprimento pelo teorema de Pitágoras: d² = 10² + 10² = 200. A medida deve ser registrada na forma exata, usando um radical simplificado. Com base nessa situação, como deve ser expressado, na forma exata e simplificada, o comprimento da diagonal da área de treinamento?
- A) 100√2 metros
- B) √200 metros
- C) 14,14 metros
- D) 20 metros
- E) 10√2 metros
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. O quadrado tem lado 10 m e a diagonal d é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 10 m cada. Pelo teorema de Pitágoras, d² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200. Passo 2: Para achar d, tiramos a raiz quadrada de 200, ou seja, d = raiz de 200. Passo 3: Simplificamos o radical fatorando 200 = 100 × 2. Como a raiz de 100 é 10, temos d = raiz de 100 × raiz de 2 = 10 raiz de 2 metros. Passo 4: Portanto, a forma exata e simplificada é 10√2 metros, que corresponde à alternativa E, igual ao gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (100√2) não é a raiz de 200, pois 100√2 elevado ao quadrado daria 20000; a alternativa B (√200) é a medida exata correta, mas não está simplificada, o que o enunciado exige; a alternativa C (14,14) é uma aproximação decimal de raiz de 200 e não a forma exata pedida; a alternativa D (20) é a soma dos lados, o que ignora o teorema de Pitágoras e a diagonal é menor que a soma dos lados.
💡 Dica: Pense na relação entre a distância e a unidade de medida.
Alternativa por alternativa
O aluno tratou 200 como 100 × 2 e retirou o 100 da raiz sem extrair a raiz quadrada dele, como se a raiz de 100 fosse 100 em vez de 10. Assim chegou a um valor que, elevado ao quadrado, não reproduz 200.
O aluno acertou o valor exato de d, mas não simplificou o radical, ignorando a exigência do enunciado de usar um radical simplificado. Ele pode ter achado que escrever raiz de 200 já basta como resposta exata.
O aluno calculou a raiz de 200 numericamente (cerca de 14,142) e arredondou, confundindo medida aproximada com forma exata. Ele não percebeu que a questão pede o radical simplificado, e não um valor decimal.
Por que engana: Confundir a representação da raiz quadrada com seu valor numérico, optando por 200 metros em vez de v200 metros.
O aluno somou os dois lados do quadrado (10 + 10 = 20) para obter a diagonal, o que é um raciocínio intuitivo, mas errado. Ele não aplicou o teorema de Pitágoras, que relaciona a diagonal aos catetos pela soma de quadrados.
Pelo teorema de Pitágoras, d = √200. Como 200 = 100 · 2, então √200 = √100 · √2 = 10√2. Portanto, o comprimento exato da diagonal é 10√2 metros.
Raio-X da questão
comprimento da pista
fixacao
radiciação e simplificação · unidades de medida
Revisar como expressar medidas em diferentes unidades.
Confundir a representação da raiz quadrada com seu valor numérico, optando por 200 metros em vez de v200 metros.
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