Em uma atividade de Matemática, os estudantes analisaram o número v2, que aparece ao calcular a diagonal de um…

Questão

Em uma atividade de Matemática, os estudantes analisaram o número v2, que aparece ao calcular a diagonal de um quadrado de lado 1. Eles precisaram classificá-lo como racional ou irracional. Qual justificativa classifica corretamente o número v2 como irracional?

1. A) Sim, porque √2 é exatamente igual a 1,4.
2. B) Não, porque √2 pode ser escrito como fração de dois números inteiros.
3. C) Sim, porque √2 não pode ser escrito como fração de dois números inteiros.
4. D) Sim, porque todo número que não é natural é irracional.
5. E) Não, porque 2 é inteiro e sua raiz quadrada também deve ser inteira.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Lembre que um número é racional quando pode ser escrito como fração p/q, com p e q inteiros e q diferente de zero, e é irracional quando não pode.
2. O número v2 (raiz quadrada de 2) é o comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1, pelo teorema de Pitágoras (1^2 + 1^2 = d^2, logo d^2 = 2).
3. Supondo que v2 = p/q com p e q inteiros primos entre si, elevando ao quadrado obtemos 2q^2 = p^2, o que mostra que p^2 é par e, portanto, p é par; substituindo p = 2k, temos q^2 = 2k^2, logo q também é par, contradizendo a hipótese de que p e q não têm fator comum. Assim, v2 não é fração de inteiros e é irracional.
4. A alternativa C afirma exatamente isso: sim, é irracional porque não pode ser escrito como fração de dois inteiros. Está correta e confere com o gabarito.
5. A alternativa A está errada porque 1,4 é apenas uma aproximação decimal (1,4^2 = 1,96), e não o valor exato de v2; além disso, uma aproximação decimal finita não prova nada sobre a irracionalidade.
6. A alternativa B está errada porque afirma que v2 é racional, o que é falso pela demonstração acima.
7. A alternativa D está errada porque a regra 'todo número que não é natural é irracional' é falsa, já que, por exemplo, 1/2 e -3 são racionais e não são naturais.
8. A alternativa E está errada porque raízes quadradas de inteiros não precisam ser inteiras; o próprio fato de 2 não ser quadrado perfeito é que torna v2 irracional.

💡 Dica: Explique o que caracteriza um número irracional.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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