Em uma oficina de marcenaria, uma placa quadrada tem lados de 1 metro. Para cortar a placa pela diagonal, a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma oficina de marcenaria, uma placa quadrada tem lados de 1 metro. Para cortar a placa pela diagonal, a equipe calcula seu comprimento usando o teorema de Pitágoras. Se d representa a diagonal, então d² = 1² + 1², de modo que d = v2 metros. Embora uma calculadora mostre um valor aproximado, 1,414 metros, esse resultado decimal é apenas uma aproximação do comprimento exato. Com base no cálculo geométrico apresentado, considerando o valor exato da diagonal, qual é a natureza desse comprimento?
- A) É um número racional não inteiro.
- B) É igual a 2 metros.
- C) É um número irracional positivo.
- D) É um número inteiro negativo.
- E) É um número natural.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- No enunciado, a diagonal d de uma placa quadrada de lado 1 metro satisfaz d² = 1² + 1² = 2, portanto d = raiz de 2 metros.
- Precisamos classificar o número raiz de 2. Um número racional é aquele que pode ser escrito como fração p/q, com p e q inteiros e q diferente de zero. Um número irracional não admite essa escrita, e sua representação decimal é infinita e não periódica.
- A demonstração clássica por contradição mostra que raiz de 2 não é racional: se raiz de 2 = p/q com p/q na forma irredutível, então p² = 2q², logo p² é par, o que força p par; escrevendo p = 2k, obtemos q² = 2k², logo q também seria par, contradizendo a irredutibilidade. Assim raiz de 2 é irracional.
- Como raiz de 2 é positivo (é uma medida de comprimento), a classificação correta é número irracional positivo, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) raiz de 2 não é racional, logo não pode ser racional não inteiro; B) raiz de 2 é aproximadamente 1,414, e não 2, que seria o valor de 1 + 1 e não da diagonal; D) o comprimento é positivo, nunca negativo, e também não é inteiro; E) raiz de 2 não é inteiro, portanto não é natural.
- Observação: o valor 1,414 mostrado pela calculadora é apenas uma aproximação racional decimal finita, enquanto o comprimento exato raiz de 2 não pode ser representado por uma fração exata.
💡 Dica: Calcule a diagonal usando o teorema de Pitágoras.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde número irracional com número racional, achando que todo decimal com vírgula (como 1,414) é racional não inteiro, e assim ignora que o valor exato raiz de 2 não é uma fração.
O aluno soma os catetos (1 + 1 = 2) em vez de aplicar a soma dos quadrados e extrair a raiz, confundindo d² = 2 com d = 2.
Por que engana: Confundir a diagonal de um quadrado com um número racional, acreditando que pode ser expresso como uma fração simples.
Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal mede √2 metros. Como não existe número racional cujo quadrado seja 2, √2 não pode ser escrito como razão entre dois números inteiros; portanto, é irracional. Além disso, como representa um comprimento, é positivo. O valor 1,414 é apenas uma aproximação decimal.
O aluno acredita que a raiz de 2 seja inteira negativa, possivelmente por confundir a operação de radiciação com sinal negativo ou por não distinguir sinal de medida de comprimento.
O aluno acha que, por ser uma raiz de número natural, o resultado também é natural, sem verificar se a raiz de 2 é um inteiro (não é, pois fica entre 1 e 2).
Raio-X da questão
diagonal de quadrado
avaliacao
diagonal de quadrado · números racionais e irracionais
Revisar o cálculo da diagonal de um quadrado usando o teorema de Pitágoras.
Confundir a diagonal de um quadrado com um número racional, acreditando que pode ser expresso como uma fração simples.
ciencia_tecnologia
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cotidiano
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