Em uma oficina de arquitetura, estudantes analisaram uma placa quadrada com lado de 1 metro. Pelo teorema de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma oficina de arquitetura, estudantes analisaram uma placa quadrada com lado de 1 metro. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da diagonal d satisfaz d² = 1² + 1², portanto d² = 2. Uma calculadora apresentou a medida da diagonal como 1,41421356237..., e os algarismos continuam sem terminar nem formar um bloco periódico. Com base nessas informações, a que conjunto numérico pertence o comprimento exato da diagonal da placa?
- A) Irracional
- B) Inteiro
- C) Fracionário
- D) Racional
- E) Natural
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A diagonal d da placa quadrada de lado 1 metro satisfaz d² = 2, pelo teorema de Pitágoras, como o enunciado informa.
- Pergunta-se a qual conjunto numérico pertence o valor exato de d, isto é, a raiz quadrada positiva de 2.
- Um número racional pode ser escrito como fração p/q com p e q inteiros e q diferente de zero. Se raiz de 2 fosse racional, existiria uma fração irredutível p/q com (p/q)² = 2, ou seja, p² = 2q². Então p² seria par, logo p seria par, e p = 2k daria q² = 2k², tornando q par também. Isso contradiz a irredutibilidade, então raiz de 2 não é racional.
- Além disso, o enunciado diz que a expansão decimal não termina nem é periódica, o que caracteriza números irracionais, já que decimais finitos ou periódicos são racionais.
- Logo, o comprimento exato da diagonal é irracional, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- A alternativa B está errada, pois inteiros são números como -2, 0 e 5, e raiz de 2 não é inteiro, pois fica entre 1 e 2.
- A alternativa C está errada, pois fracionários são frações de inteiros, e raiz de 2 não pode ser escrita como tal.
- A alternativa D está errada, pois racionais têm representação fracionária ou decimal finita ou periódica, o que não ocorre aqui.
- A alternativa E está errada, pois naturais são 0, 1, 2, 3, e raiz de 2 não é um deles.
💡 Dica: Identifique a categoria do número apresentado.
Alternativa por alternativa
Se o comprimento exato da diagonal fosse racional, sua representação decimal seria finita ou periódica. Como a medida corresponde à raiz quadrada de 2 e sua expansão decimal é infinita e não periódica, ela pertence ao conjunto dos números irracionais.
O aluno pode achar que, por a calculadora mostrar um valor com muitos algarismos, o número é inteiro ou que a diagonal sempre tem medida inteira em figuras geométricas simples.
O aluno pode confundir 'fracionário' com 'qualquer número com parte decimal' e supor que, por não ser inteiro, o valor seja fracionário.
O aluno pode pensar que todo número que a calculadora exibe é racional, já que é um valor numérico com representação decimal, sem perceber que a ausência de período e de término indica irracionalidade.
O aluno pode associar medidas de comprimento a números naturais, usando a intuição de que medidas são contagens inteiras e positivas.
Raio-X da questão
números irracionais
avaliacao
números racionais · tipos de números
Revisar as características dos números irracionais.
Confundir números irracionais com números racionais, acreditando que todos os números decimais são racionais.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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