Uma caixa tem forma de cubo. A diagonal vai de um canto ao canto oposto. Qual é a relação entre a altura e a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma caixa tem forma de cubo. A diagonal vai de um canto ao canto oposto. Qual é a relação entre a altura e a diagonal?
- A) A diagonal fica fora da caixa.
- B) As duas têm o mesmo tamanho.
- C) A altura é maior que a diagonal.
- D) A caixa não tem diagonal.
- E) A diagonal é maior que a altura.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Seja a a medida da aresta do cubo. A altura da caixa, medida de uma face à face oposta na vertical, é igual à aresta, ou seja, a. Passo 2: A diagonal pedida liga dois vértices opostos do cubo, passando pelo interior dele. Ela é a diagonal espacial, e pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras duas vezes. Passo 3: Primeiro, a diagonal de uma face tem medida a raiz de 2, pois é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos a e a, com a^2 + a^2 = 2a^2. Passo 4: Depois, a diagonal do cubo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a aresta a e a diagonal da face a raiz de 2. Logo d^2 = a^2 + (a raiz de 2)^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2, e portanto d = a raiz de 3. Passo 5: Comparando, a diagonal é a raiz de 3 vezes a altura, que é maior que a, porque raiz de 3 é aproximadamente 1,73. Logo a diagonal é maior que a altura, o que torna a alternativa E correta. Passo 6: A alternativa A está errada, pois a diagonal liga dois vértices da própria caixa e fica no seu interior. A alternativa B está errada, pois as medidas são a e a raiz de 3 vezes a, que são diferentes. A alternativa C está errada, pois a altura é menor que a diagonal, e não maior. A alternativa D está errada, pois todo cubo possui diagonais, tanto nas faces quanto no espaço. Passo 7: O gabarito oficial E está correto e coincide com a resolução feita.
💡 Dica: Considere a relação entre altura e diagonal usando a trigonometria.
Alternativa por alternativa
Imagina que a diagonal é uma linha que cruza o ar do lado de fora da caixa, como um fio esticado sobre ela, em vez de ligar dois vértices pelo interior do sólido.
Supõe que, como a diagonal e a altura partem do mesmo canto, elas devem ter a mesma medida, sem perceber que a diagonal é a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são arestas.
Por que engana: Confundir a relação entre a altura e a diagonal, pensando que a diagonal é igual à altura em vez de aplicar o teorema de Pitágoras.
Acha que a altura, por ser a dimensão vertical mais visível, deve ser maior que a diagonal, e não percebe que a diagonal espacial é a hipotenusa e sempre supera qualquer cateto.
Acredita que diagonal só existe em figuras planas, como quadrados e retângulos, e não reconhece que sólidos também possuem diagonais ligando vértices não consecutivos.
No cubo, a diagonal atravessa o seu interior de um canto ao canto oposto. Por isso, ela é maior que a altura da caixa.
Raio-X da questão
números irracionais
avaliacao
números irracionais · teorema de Pitágoras
Revisar a relação entre medidas em triângulos e números irracionais.
Confundir a relação entre a altura e a diagonal, pensando que a diagonal é igual à altura em vez de aplicar o teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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