Para instalar uma placa solar, uma equipe construiu uma estrutura triangular retângula. A altura vertical da…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para instalar uma placa solar, uma equipe construiu uma estrutura triangular retângula. A altura vertical da estrutura mede 5 m, e a base horizontal mede v20 m. O segmento inclinado que une as extremidades da altura e da base é chamado, no projeto, de diagonal da estrutura. Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da medida desse segmento é igual à soma dos quadrados dos catetos. Com base nas medidas da estrutura e no teorema de Pitágoras, qual afirmação descreve corretamente a medida e a natureza numérica da diagonal?
- A) A diagonal mede 45 m e é um número racional.
- B) A diagonal mede 3√5 m e é um número irracional.
- C) A diagonal mede √5 m e é um número irracional.
- D) A diagonal mede 5√2 m e é um número irracional.
- E) A diagonal mede 25 + √20 m e é um número irracional.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique os catetos. A altura vertical mede 5 m e a base horizontal mede raiz de 20 m (o 'v20' do enunciado é a raiz quadrada de 20). A diagonal é a hipotenusa do triângulo retângulo.
- Aplique o teorema de Pitágoras: hipotenusa^2 = cateto1^2 + cateto2^2 = 5^2 + (raiz de 20)^2 = 25 + 20 = 45.
- Calcule a raiz quadrada de 45. Como 45 = 9 x 5, temos raiz de 45 = raiz de 9 x raiz de 5 = 3 raiz de 5, que é aproximadamente 6,71 m. Logo, a diagonal mede 3 raiz de 5 m.
- Determine a natureza numérica. Um número é racional se pode ser escrito como fração de inteiros. Como 5 não é quadrado perfeito, raiz de 5 é irracional, e multiplicá-la por 3 não altera essa natureza. Portanto, a diagonal é irracional.
- Compare com as alternativas. A alternativa B está correta. A alternativa A está errada porque 45 é o quadrado da diagonal, não a diagonal, e um número inteiro não é necessariamente racional no sentido de fração não trivial, além de a medida estar incorreta. A alternativa C está errada porque raiz de 5 corresponde à raiz de 5, sem considerar o cálculo correto do quadrado. A alternativa D está errada porque 5 raiz de 2 equivale a raiz de 50, que não é 45. A alternativa E está errada porque soma 25 com raiz de 20 em vez de calcular a raiz quadrada da soma dos quadrados.
- O gabarito oficial está correto.
💡 Dica: Analise a relação entre altura e lado do triângulo.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente confundiu a diagonal com o quadrado da sua medida, ou seja, tomou 45 (resultado de 25 + 20) como a própria medida do segmento, sem extrair a raiz quadrada. Além disso, classificou o número como racional sem verificar se a raiz era exata.
A altura e a base são os catetos do triângulo retângulo. Portanto, se d representa a diagonal, d² = 5² + (√20)² = 25 + 20 = 45. Assim, d = √45 = 3√5 m. Como √5 é irracional e 3 é um número racional não nulo, 3√5 também é irracional.
O aluno provavelmente tomou apenas a diferença ou um dos termos sob a raiz, chegando a raiz de 5, possivelmente ao simplificar mal raiz de 20 ou ao calcular indevidamente 25 menos 20 para obter 5 e extrair a raiz.
O aluno provavelmente multiplicou o cateto 5 por raiz de 2 como se a diagonal fosse a média geométrica ou fizesse uma simplificação errada, como se raiz de 50 fosse igual a raiz de 45. Ele também pode ter aplicado mal a fatoração de raiz de 20.
O aluno provavelmente somou a medida do cateto 25 (quadrado de 5) com raiz de 20 em vez de extrair a raiz quadrada da soma dos quadrados. Ele não compreendeu que o teorema relaciona os quadrados das medidas, e não as medidas diretamente.
Raio-X da questão
triângulo e irracionalidade
avaliacao
propriedades dos triângulos · números racionais e irracionais
Revisar propriedades de triângulos e números irracionais.
Confundir a relação entre números racionais e irracionais, acreditando que a soma de um número racional com um irracional é sempre racional.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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