Durante a revitalização de um parque urbano, uma árvore de 4,5 m de altura será sustentada por um cabo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a revitalização de um parque urbano, uma árvore de 4,5 m de altura será sustentada por um cabo esticado até um ponto no chão situado a 2,5 m da base da árvore. Considerando a árvore perpendicular ao chão, o cabo forma a diagonal de um triângulo retângulo. As medidas envolvidas são analisadas para verificar quais podem ser representadas por números irracionais. Com base nessa situação, qual das medidas relacionadas ao triângulo pode ser representada por um número irracional?
- A) A distância entre a árvore e o ponto no chão, igual a 2,5 m.
- B) A altura da árvore, igual a 4,5 m.
- C) A área do triângulo, igual a 5,625 m².
- D) O comprimento da diagonal formada pelo cabo.
- E) O perímetro do triângulo, igual a 14,5 m.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os catetos do triângulo retângulo. A árvore tem 4,5 m de altura e a distância entre sua base e o ponto no chão é de 2,5 m. Passo 2: Calcule a hipotenusa, que é o cabo, pelo Teorema de Pitágoras: h^2 = 4,5^2 + 2,5^2 = 20,25 + 6,25 = 26,5. Logo, h = raiz de 26,5 = raiz de 53/2. Passo 3: Verifique se 26,5 é quadrado perfeito. Como 5^2 = 25 e 6^2 = 36, não existe número racional cujo quadrado seja 26,5, então a raiz é irracional (aproximadamente 5,15 m). Portanto, o comprimento da diagonal (alternativa D) é irracional. Passo 4: Analise as demais alternativas. A) A distância de 2,5 m é um dado do enunciado e é racional, pois é igual a 5/2. B) A altura de 4,5 m é um dado do enunciado e é racional, pois é igual a 9/2. C) A área é (4,5 x 2,5)/2 = 5,625 m^2, que é racional, pois depende apenas dos catetos. E) O perímetro seria 4,5 + 2,5 + raiz de 26,5, mas o valor de 14,5 m informado na alternativa não corresponde ao perímetro real (cerca de 12,15 m); além disso, a alternativa afirma um valor racional. Passo 5: Conclusão: apenas a diagonal do cabo é representada por um número irracional, o que confirma o gabarito D.
💡 Dica: Considere as propriedades dos números irracionais em relação ao triângulo.
Alternativa por alternativa
Considera que a distância ao pé da árvore, por ser uma medida do chão, deve ser irracional, confundindo dado do enunciado com a grandeza que precisa ser calculada.
Por que engana: Confundir a altura da árvore com a diagonal do triângulo, pensando que ambas são números racionais.
Acredita que qualquer medida com casas decimais é necessariamente irracional, sem verificar se o número pode ser escrito como fração.
Supõe que a área depende da hipotenusa irracional e, por isso, seria irracional, quando na verdade a área usa apenas os catetos: (4,5 x 2,5)/2 = 5,625.
Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da diagonal é d = √(4,5² + 2,5²) = √26,5 = √106/2. Como 106 não é um quadrado perfeito, √106 é irracional; portanto, o comprimento da diagonal é irracional. As demais medidas indicadas podem ser calculadas apenas com operações entre números racionais e, por isso, são racionais.
Erra no cálculo do perímetro, somando os lados de forma incorreta ou assumindo um valor errado para a hipotenusa, e chega a 14,5 m, que não corresponde à soma real dos lados (cerca de 12,15 m).
Raio-X da questão
números irracionais
avaliacao
números irracionais · triângulos e suas medidas
Revisar as características dos números irracionais e suas aplicações em triângulos.
Confundir a altura da árvore com a diagonal do triângulo, pensando que ambas são números racionais.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
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