Um atleta corre uma pista circular de raio 10 metros. Qual é o comprimento da diagonal de um quadrado…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um atleta corre uma pista circular de raio 10 metros. Qual é o comprimento da diagonal de um quadrado circunscrito nessa pista? Essa medida é racional ou irracional?
- A) 20 metros
- B) 10v2 metros
- C) 20v2 metros
- D) 30 metros
- E) 15 metros
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A pista é circular com raio 10 m. O quadrado circunscrito é o quadrado que tem a circunferência inscrita nele, ou seja, a circunferência toca os quatro lados do quadrado no ponto médio de cada lado. Passo 2: Como o raio é 10 m, o diâmetro é 20 m. Esse diâmetro é igual ao lado do quadrado, pois a circunferência encosta nos lados em pontos diametralmente opostos. Logo, o lado do quadrado mede 20 m. Passo 3: Em um quadrado de lado L, a diagonal é L vezes a raiz de 2. Substituindo L = 20, a diagonal vale 20 vezes a raiz de 2, aproximadamente 28,28 m. Passo 4: A alternativa correta é a C, 20 raiz de 2 metros, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a A (20 m) é o lado do quadrado, não a diagonal; a B (10 raiz de 2) é a metade da diagonal, isto é, a distância do centro a um vértice; a D (30 m) não corresponde a nenhuma relação geométrica da figura; a E (15 m) não resulta de nenhuma relação entre raio, lado e diagonal. Passo 6: Quanto à segunda pergunta, a raiz de 2 é irracional, pois não pode ser escrita como razão de dois inteiros. Como 20 é racional e a raiz de 2 é irracional, o produto 20 raiz de 2 é irracional. Portanto, a medida da diagonal é irracional.
💡 Dica: Calcule o comprimento da diagonal usando a relação com o raio.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde a diagonal com o lado do quadrado: como o diâmetro da pista é 20 m e ele é igual ao lado, assume que esse também é o comprimento da diagonal.
O aluno usa o raio como se fosse o lado do quadrado e aplica a relação da diagonal com raiz de 2, ou toma a distância do centro até um vértice como se fosse a diagonal inteira.
Por que engana: Confundir o comprimento da diagonal com o comprimento do lado do quadrado, utilizando apenas o raio da pista.
20v2 é irracional.
O aluno soma grandezas diferentes, como o raio e o diâmetro (10 + 20), ou faz uma estimativa sem relacionar as medidas com a geometria do quadrado.
O aluno tenta obter a diagonal a partir de médias ou frações arbitrárias do raio e do diâmetro, sem aplicar o teorema de Pitágoras ou a relação do quadrado.
Raio-X da questão
diagonal de quadrado circunscrito
avaliacao
teorema de Pitágoras · propriedades de quadrados
Revisar propriedades de quadrados e círculos.
Confundir o comprimento da diagonal com o comprimento do lado do quadrado, utilizando apenas o raio da pista.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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