Uma pista de atletismo retangular tem 400 metros de comprimento e 200 metros de largura. Para calcular a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma pista de atletismo retangular tem 400 metros de comprimento e 200 metros de largura. Para calcular a diagonal, pode-se usar o teorema de Pitágoras. Por que o comprimento da diagonal dessa pista é um número irracional?
- A) Porque seu cálculo resulta na soma dos comprimentos dos dois lados.
- B) Porque seu cálculo resulta em um número inteiro depois da raiz quadrada.
- C) Porque toda diagonal de um retângulo é um número irracional.
- D) Porque seu cálculo resulta em uma raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito.
- E) Porque o comprimento da diagonal não pode ser calculado exatamente.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. A pista tem 400 m de comprimento (um cateto) e 200 m de largura (outro cateto). A diagonal é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por esses lados.
- Aplique o teorema de Pitágoras. Diagonal ao quadrado = 400^2 + 200^2 = 160000 + 40000 = 200000. Logo, a diagonal é a raiz quadrada de 200000.
- Verifique se 200000 é quadrado perfeito. Fatorando, 200000 = 2^6 x 5^5. O expoente de 5 é ímpar, então 200000 não é quadrado perfeito. Simplificando, raiz de 200000 = 200 x raiz de 5, que é uma raiz não exata.
- Conclua. Um número inteiro que não é quadrado perfeito tem raiz quadrada irracional, por isso a diagonal (aproximadamente 447,2 m) é irracional. A alternativa D está correta, e o gabarito oficial está certo.
- Por que as outras estão erradas. A: a soma dos lados (600 m) não é a diagonal, e somar lados não explica a irracionalidade. B: a raiz de 200000 não é inteira, então a afirmação contradiz o cálculo. C: a diagonal depende das medidas dos lados; há retângulos cuja diagonal é racional, como o de lados 3 e 4, cuja diagonal é 5. E: a diagonal pode ser calculada exatamente como 200 raiz de 5; apenas sua forma decimal é aproximada.
💡 Dica: Considere o teorema de Pitágoras para a diagonal.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que a diagonal é obtida somando os comprimentos dos lados, confundindo perímetro ou soma de lados com a hipotenusa do triângulo retângulo.
Por que engana: Confundir a diagonal com um número inteiro, acreditando que sempre será um valor exato e não um número irracional.
O aluno acredita que a raiz quadrada de um número sempre resulta em um inteiro, sem verificar se o radicando é quadrado perfeito.
O aluno generaliza que toda diagonal de retângulo é irracional, ignorando que a medida depende dos lados e que existem diagonais inteiras, como a do retângulo 3 por 4.
Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal mede √(400² + 200²) = √200000 = 200√5. Como 5 não é um quadrado perfeito, √5 é irracional; portanto, a diagonal também é irracional.
O aluno confunde valor exato com valor decimal e acredita que, por não ser possível escrever a diagonal com um número finito de casas decimais, ela não pode ser calculada exatamente, ignorando a forma 200 raiz de 5.
Raio-X da questão
números irracionais
diagnostico
números irracionais · raízes quadradas
Revisar a definição de números irracionais e o teorema de Pitágoras.
Confundir a diagonal com um número inteiro, acreditando que sempre será um valor exato e não um número irracional.
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