Matemática3ª sérieBNCC EM13MAT312Difícil⏱ medio

Em uma escola pública brasileira, uma pesquisa indicou que 70% dos estudantes gostam de Matemática. Para uma…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT312

Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em uma escola pública brasileira, uma pesquisa indicou que 70% dos estudantes gostam de Matemática. Para uma atividade de análise de dados, a equipe pedagógica selecionará aleatoriamente 5 estudantes. Considere que, para esse cálculo, a preferência de cada estudante é independente das preferências dos demais e que a proporção observada na pesquisa representa a probabilidade de um estudante gostar de Matemática. Com base nos dados da pesquisa, qual é, aproximadamente, a probabilidade de que pelo menos 4 dos 5 estudantes selecionados gostem de Matemática?

A) 0,0332
B) 0,3602
C) 0,4082
D) 0,7000
E) 0,5282

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

Identifique o modelo. Cada um dos 5 estudantes selecionados gosta de Matemática com probabilidade p = 0,7, de forma independente. Isso é uma distribuição binomial com n = 5 e p = 0,7. Queremos P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5). Passo 2: Calcule P(X = 4) = C(5,4) x 0,7^4 x 0,3^1 = 5 x 0,2401 x 0,3 = 0,36015. Passo 3: Calcule P(X = 5) = C(5,5) x 0,7^5 x 0,3^0 = 1 x 0,16807 = 0,16807. Passo 4: Some os dois casos: 0,36015 + 0,16807 = 0,52822, que arredondado é 0,5282. Passo 5: Compare com as alternativas. A resposta 0,5282 corresponde à alternativa E, que coincide com o gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A (0,0332) usa a probabilidade de não gostar como se fosse a de gostar; B (0,3602) considera apenas o caso de exatamente 4 estudantes; C (0,4082) esquece o coeficiente binomial 5 da probabilidade de exatamente 4; D (0,7000) confunde a probabilidade de um único estudante com a de pelo menos 4 entre 5.

💡 Dica: Calcule a probabilidade usando a fórmula binomial.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceitual

Trocou a probabilidade de gostar (0,7) pela de não gostar (0,3) ao montar a binomial, obtendo um valor muito baixo para um evento que é bastante provável.

B Erradaerro: Interpretação

Calculou apenas P(X = 4) e esqueceu que 'pelo menos 4' inclui também o caso em que os 5 gostam de Matemática.

C Erradaerro: Procedimental

Somou 0,7^4 + 0,7^5 sem multiplicar P(X = 4) pelo coeficiente binomial 5, ou seja, ignorou as diferentes combinações possíveis dos 4 estudantes que gostam.

D Erradaerro: Senso comuma que mais engana

Tomou a proporção de 70% de estudantes que gostam de Matemática como a resposta final, sem considerar a seleção de 5 estudantes e o pedido de pelo menos 4.

Por que engana: Calcular a probabilidade de eventos independentes somando probabilidades em vez de usar a fórmula da binomial.

E Correta

Seja X o número de estudantes que gostam de Matemática. Como cada estudante tem probabilidade 0,7 de gostar e as escolhas são independentes, X segue uma distribuição binomial com n = 5 e p = 0,7. Pelo menos 4 estudantes significa exatamente 4 ou exatamente 5: P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = C(5,4)·(0,7)^4·(0,3) + C(5,5)·(0,7)^5 = 5·0,2401·0,3 + 0,16807 = 0,36015 + 0,16807 = 0,52822. Arredondando para quatro casas decimais, obtém-se 0,5282.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

probabilidade binomial

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

probabilidade binomial · combinatoria basica

📚 Reveja

Revisar a fórmula da probabilidade binomial e suas aplicações.

⚠️ Erro mais comum

Calcular a probabilidade de eventos independentes somando probabilidades em vez de usar a fórmula da binomial.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cotidiano

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