Em uma atividade de Matemática, uma equipe analisa um número natural usado para organizar a identificação de…

Questão

Em uma atividade de Matemática, uma equipe analisa um número natural usado para organizar a identificação de registros digitais. Esse número é representado por N = p^x · q^y · r^z, em que p, q e r são primos distintos e x, y e z são números naturais positivos. Cada divisor de N é obtido escolhendo, de forma independente, o expoente de p entre 0 e x, o expoente de q entre 0 e y e o expoente de r entre 0 e z. Com base nessa representação, qual expressão indica o número de divisores de N que são diferentes de N?

1. A) (x + 1) · (y + 1) · (z + 1)
2. B) (x + 1) · (y + 1) · (z + 1) − 1
3. C) (x + 1) · (y + 1)
4. D) x · y · z
5. E) (x + 1) · (y + 1) · z

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Pelo enunciado, cada divisor de N é formado escolhendo independentemente o expoente de p entre 0 e x (x + 1 opções), o expoente de q entre 0 e y (y + 1 opções) e o expoente de r entre 0 e z (z + 1 opções).
2. Pelo princípio multiplicativo, o total de divisores de N é (x + 1) · (y + 1) · (z + 1), pois cada combinação de expoentes gera um divisor distinto (a fatoração em primos é única).
3. O divisor N é obtido quando se escolhe o expoente máximo em todos os primos, ou seja, p^x · q^y · r^z. Esse é o único divisor que coincide com N.
4. Para obter os divisores diferentes de N, subtrai-se 1 do total: (x + 1) · (y + 1) · (z + 1) − 1.
5. Verificação com exemplo: N = 2^1 · 3^1 · 5^1 = 30 tem (1+1)(1+1)(1+1) = 8 divisores, e 7 deles são diferentes de 30. A fórmula dá 8 − 1 = 7, correta.
6. Por que as outras estão erradas: A) conta também o próprio N; C) ignora o primo r e não desconta N; D) é um produto de expoentes, sem relação com a contagem de divisores; E) usa z em vez de (z + 1) e não desconta N.

💡 Dica: Calcule os divisores de N e subtraia 1.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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