Probabilidade: eventos dependentes e independentes no 9º ano

Quando trabalho probabilidade no 9º ano, percebo que a dificuldade nem sempre está nas frações: muitas vezes, a turma não nota se o primeiro resultado altera ou não as chances do próximo. Por isso, começo com uma situação concreta, como retirar bolas de uma urna e decidir se elas voltam para dentro.

Já usei esse contraste para abrir conversas boas sobre independência, reposição e leitura cuidadosa do enunciado. A seguir, compartilho uma sequência prática e seis questões com gabarito comentado. Elas ajudam a identificar o raciocínio dos estudantes, não apenas a conferir se chegaram ao número certo.

O que são eventos dependentes e independentes?

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro; são dependentes quando altera. No 9º ano, a regra prática que eu ensino é perguntar se a primeira etapa muda o conjunto de possibilidades da seguinte. Se uma bola é retirada e devolvida à urna, por exemplo, a composição não muda e os sorteios podem ser independentes. Sem reposição, a composição muda e os eventos são dependentes. Para calcular a chance de ambos ocorrerem, multiplico a probabilidade do primeiro pela probabilidade do segundo, usando a probabilidade condicional quando há dependência. Assim, com reposição, posso multiplicar duas vezes a mesma fração; sem reposição, atualizo numerador e denominador. Essa abordagem atende à habilidade EF09MA20 e evita decorar regras sem compreender. O GeraProva permite preparar questões com contextos variados para verificar se a turma identifica a mudança entre uma etapa e outra.

Eu faço a turma comparar dois enunciados quase iguais. Em ambos há dez bolas, quatro vermelhas; em um, a bola retorna à urna, no outro, não. A pergunta inicial não é “qual é a conta?”, mas “o que mudou depois da primeira retirada?”.

• Com reposição: a urna mantém a mesma composição; as probabilidades se repetem.
• Sem reposição: a quantidade de elementos muda; é preciso recalcular a etapa seguinte.

Como explicar o cálculo na prática?

Para explicar o cálculo, eu separo a situação em etapas: identifico o primeiro evento, calculo sua probabilidade e depois determino a chance do segundo evento, considerando o resultado anterior. Se houver reposição ou outra condição que preserve as chances, multiplico probabilidades sem alteração. Se não houver reposição, uso a quantidade restante no segundo cálculo. Por exemplo, ao retirar duas bolas vermelhas entre quatro vermelhas e seis de outra cor, sem devolver a primeira, a chance é 4/10 × 3/9. Para verificar independência, comparo a probabilidade do segundo evento antes e depois do primeiro, ou comparo P(A e B) com P(A) × P(B). Essa rotina funciona também em pesquisas, escolhas de pessoas e situações com etapas condicionais. Eu peço que os alunos expliquem em palavras por que o denominador mudou: a justificativa mostra se compreenderam o modelo, além de acertarem a operação.

Uma representação em árvore ajuda quando há dois ou mais passos. Escrevo as possibilidades em cada ramo e marco se a quantidade total permanece igual. Depois, a turma acompanha o caminho correspondente ao evento pedido e multiplica as probabilidades desse caminho.

Também separo “probabilidade de A e B” de “probabilidade de A ou B”. Em exercícios iniciais, essa distinção evita que estudantes somem quando o enunciado pede que duas condições aconteçam juntas.

Como avaliar essa habilidade no 9º ano?

Eu avalio se o estudante reconhece a dependência, escolhe as probabilidades adequadas e justifica a operação, e não apenas se apresenta um resultado decimal. Uma boa atividade traz contextos variados: sorteios com e sem reposição, seleção de pessoas e situações em que uma condição determina o experimento seguinte. Na correção, observo três evidências: identificar se o primeiro resultado altera o espaço amostral, representar corretamente a probabilidade condicional e explicar por que multiplicou as chances. A habilidade BNCC EF09MA20 prevê reconhecer eventos independentes e dependentes e calcular suas probabilidades. Por isso, incluo itens de aplicação e peço uma frase de justificativa junto à conta. Com seis questões curtas, por exemplo, consigo perceber padrões de erro e planejar uma retomada. Na plataforma GeraProva, posso gerar e ajustar questões para variar os contextos sem repetir sempre o mesmo tipo de urna.

Quando corrijo, anoto o tipo de erro: confusão entre soma e produto, denominador que não foi atualizado ou classificação incorreta da independência. Esse registro me ajuda a planejar uma retomada breve e direcionada, em vez de reaplicar a mesma explicação para todos.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo trabalham a habilidade EF09MA20 com situações de reposição, seleção sem reposição e independência em contextos diferentes. Em cada item, o estudante precisa ler as condições, calcular a probabilidade e decidir se um evento altera o outro. Incluí alternativas comentadas para tornar visíveis os erros comuns: usar a fração inicial duas vezes quando a população muda, somar probabilidades de eventos conjuntos ou classificar como independentes eventos que se influenciam. Eu costumo pedir que a turma tente resolver antes de consultar os comentários; depois, uso as justificativas para discutir o raciocínio. Os itens estão classificados no nível Aplicar da Taxonomia de Bloom e associados à BNCC EF09MA20. Assim, funcionam tanto para prática guiada quanto para uma verificação formativa, com atenção ao processo e não somente ao gabarito final.

1. Urna com reposição

Um gráfico de colunas mostra o conteúdo de uma urna: 4 bolas vermelhas, 3 azuis e 3 verdes. Sorteia-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e devolve-se a urna antes de um segundo sorteio. Os eventos A = “primeira bola vermelha” e B = “segunda bola vermelha” são independentes? Calcule a probabilidade de A e B ocorrerem.

Dica de resolução: Como a bola é reposta, use a mesma probabilidade nos dois sorteios e multiplique. Conceito central: eventos independentes e probabilidade. Revisão: definição de independência e regra do produto. BNCC: EF09MA20. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) Sim. P(A∩B) = (4/10)×(4/10) = 4/25 ≈ 0,16. Correta: a devolução mantém a urna; P(A)=P(B)=4/10.
• ❌ B) Usa 3/10 no segundo sorteio, como se não houvesse reposição.
• ❌ C) As probabilidades dos eventos não são 3/10 e 2/10; há quatro vermelhas entre dez.
• ❌ D) A devolução não torna os eventos dependentes; preserva as chances.
• ❌ E) Soma as probabilidades, mas para a ocorrência conjunta deve multiplicá-las.

2. Escolha de alunos sem reposição

Em uma turma de 20 alunos, uma pesquisa sobre meio de transporte para a escola obteve: ônibus 10, bicicleta 4, a pé 6. Se dois alunos são escolhidos aleatoriamente sem reposição, qual a probabilidade de ambos irem de ônibus? Classifique os eventos.

Dica: Use a fórmula para eventos dependentes. Conceito central: probabilidade de eventos dependentes. Revisão: cálculo de probabilidade sem reposição. BNCC: EF09MA20. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) P=1/3; independentes. A primeira escolha muda o grupo disponível, então há dependência.
• ❌ B) P=9/20; independentes. Ignora o efeito da primeira escolha sobre a segunda.
• ❌ C) P=5/20; dependentes. A classificação está certa, mas o cálculo não considera corretamente a segunda escolha.
• ❌ D) P=1/2; independentes. O valor está incorreto e a falta de reposição torna os eventos dependentes.
• ✅ E) P=9/38 ≈ 0,237; dependentes. P=(10/20)×(9/19)=9/38.

3. Transporte público em uma amostra

Em uma escola com 120 alunos, 72 utilizam transporte público e 48 transporte privado. Escolhem-se ao acaso dois alunos, um após o outro, sem reposição. Classifique os eventos e calcule a probabilidade de ambos usarem transporte público.

Dica: Considere a falta de reposição. Conceito central: probabilidade de eventos. Revisão: eventos dependentes. BNCC: EF09MA20. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Chama os eventos de independentes e repete 72/120; a primeira escolha altera o grupo.
• ❌ B) Atribui 0,50 a ambos sem considerar a condição criada pela primeira escolha.
• ❌ C) A chance do segundo aluno não é 1,00; ainda há alunos de transporte privado.
• ✅ D) Dependentes; P=(72/120)×(71/119)=213/595 ≈ 0,358. Sem reposição, a segunda probabilidade muda.
• ❌ E) Soma proporções de categorias distintas; isso não calcula a chance conjunta pedida.

4. Respostas “sim” em uma pesquisa

Um jornal entrevistou 10 moradores: 4 responderam “sim” e 6 “não”. Dois moradores foram escolhidos ao acaso, sem reposição. Calcule a probabilidade de ambos terem respondido “sim” e classifique os eventos.

Dica: Calcule sem reposição e compare as probabilidades condicionais. Conceito central: probabilidade sem reposição. Revisão: eventos dependentes e critério de independência. BNCC: EF09MA20. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) 1/5; independentes. O valor correto é 2/15 e a primeira escolha altera as chances.
• ❌ B) 3/10; dependentes. A classificação procede, mas o cálculo não.
• ❌ C) 4/10; independentes. 4/10 é a chance inicial, não a conjunta; há dependência.
• ❌ D) 1/15; independentes. O valor está incorreto e os eventos são dependentes.
• ✅ E) 2/15 ≈ 0,133; dependentes. (4/10)×(3/9)=12/90=2/15; a chance condicional muda.

5. Clube e período de estudo

Uma pesquisa com 200 alunos registrou preferência por período e participação em um clube: 80 preferem estudar de manhã e 120 à tarde. Dos 80 da manhã, 30 participam do clube; dos 120 da tarde, 50 participam. Qual a probabilidade de escolher alguém que participe do clube e estude à tarde? Esses eventos são independentes?

Dica: Calcule a probabilidade conjunta e compare com o produto das probabilidades. Conceito central: probabilidade e independência. Revisão: eventos independentes. BNCC: EF09MA20. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) 0,30; dependentes. A conjunta é 50/200=0,25, não 0,30.
• ❌ B) 0,40; independentes. O valor conjunto está errado e o teste não confirma independência.
• ❌ C) Não é verdade que todos os participantes do clube estudam à tarde; 30 estudam de manhã.
• ✅ D) 0,25; não são independentes. P(clube)=80/200=0,4; P(tarde)=120/200=0,6; o produto é 0,24, diferente de 0,25.
• ❌ E) P(clube)=0,50. São 80 participantes em 200 alunos, portanto 0,40.

6. Número primo e retirada de bola

Escolhe-se uniformemente um inteiro entre 1 e 12. Se for primo, retira-se uma bola da Urna P (3 azuis, 2 vermelhas); caso contrário, usa-se a Urna C (1 azul, 4 vermelhas). Calcule a probabilidade de obter uma bola azul e determine se “número primo” e “bola azul” são eventos independentes.

Dica: Calcule as probabilidades condicionais e teste a independência. Conceito central: probabilidade e eventos independentes. Revisão: probabilidade total. BNCC: EF09MA20. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) 5/12; não independentes. O cálculo não combina corretamente os dois casos.
• ❌ B) 1/3; independentes. O valor está incorreto e a urna depende de o número ser primo.
• ❌ C) 3/10; dependentes. A classificação é plausível, mas a probabilidade não está correta.
• ❌ D) 1/6; independentes. Não considera todos os números e as duas urnas.
• ✅ E) P(azul)=11/30; não independentes. (5/12)(3/5)+(7/12)(1/5)=11/30. Como P(azul|primo)=3/5, diferente de 11/30, não há independência.

Como preparar novas atividades sem perder tempo?

Para montar uma sequência equilibrada, eu alterno questões com reposição, sem reposição e situações em que o contexto exige calcular probabilidades condicionais. Também incluo perguntas de justificativa para descobrir se a turma entende por que os eventos são dependentes ou independentes. A plataforma GeraProva pode ajudar a criar provas e atividades com IA, que eu reviso e adapto ao que já trabalhei em sala. Assim, economizo tempo na elaboração sem abrir mão das escolhas pedagógicas: posso ajustar a dificuldade, selecionar conteúdos e adequar os enunciados à minha turma. Se quiser experimentar, você pode fazer o cadastro grátis e testar a ferramenta. Para começar, eu usaria uma atividade curta, corrigiria os erros mais recorrentes e só depois avançaria para situações com mais etapas.

Mais do que conferir uma resposta, vale escutar como o estudante explica o que acontece após a primeira escolha. Essa conversa revela se ele compreendeu a dependência ou apenas aplicou uma fórmula.

Este material é um ponto de partida: adapte os exemplos ao percurso da sua turma e confira os cálculos antes de aplicar. Se fizer sentido para você, teste o GeraProva e veja como a geração de questões pode liberar tempo para acompanhar a aprendizagem.