Exercício sobre grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Quando ensino proporcionalidade, percebo que muitos alunos procuram uma regra rápida: se uma grandeza aumenta, a outra também aumenta; se diminui, a outra diminui. Mas esse atalho não basta. Eu gosto de pedir que a turma compare situações concretas e verifique se existe uma razão constante ou um produto constante. Assim, a diferença entre proporcionalidade e uma simples associação fica mais clara.

Já usei questões contextualizadas para discutir desde o número de trabalhadores até o custo de uma compra. A seguir, reúno critérios de resolução e seis questões com alternativas comentadas, dica, conceito central e referência à habilidade EF08MA12. Você também pode adaptar os exemplos para uma atividade curta ou gerar novas versões no GeraProva, economizando tempo de preparação.

O que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

Grandezas são diretamente proporcionais quando uma pode ser obtida multiplicando a outra por uma constante: ao dobrar uma, a outra também dobra, e a razão entre os valores correspondentes permanece igual. Por exemplo, se cada ingresso custa R$ 10, o custo total é proporcional ao número de ingressos, desde que não haja taxa fixa. Já duas grandezas são inversamente proporcionais quando, em uma situação adequada, o produto entre elas permanece constante: se uma dobra, a outra cai pela metade. Um exemplo é a quantidade de trabalhadores e o tempo para realizar o mesmo serviço, supondo produtividade igual. Nem toda relação crescente é proporcional, e nem toda relação decrescente é inversa. Eu verifico a regra usando mais de um par de valores. Essa distinção é central na habilidade EF08MA12 e evita que os alunos confundam associação com proporcionalidade.

Uma forma prática de organizar a explicação é escrever as relações algébricas:

• Direta: y = kx; a razão y/x é constante.
• Inversa: y = k/x; o produto xy é constante.
• Não proporcional: não se confirma nenhum desses padrões.

Vale lembrar que a constante k depende do contexto. Uma taxa fixa, por exemplo, costuma impedir a proporcionalidade direta, mesmo que o valor aumente conforme a quantidade.

Como identificar a proporcionalidade em uma situação-problema?

Para identificar a relação, eu começo nomeando as duas grandezas e observando o que permanece igual na situação. Em seguida, comparo pelo menos dois pares de valores: se a razão entre os correspondentes não muda, a relação é direta; se o produto permanece constante, é inversa. Se nenhum teste funciona, a resposta é não proporcional, ainda que uma variável aumente quando a outra aumenta. Também verifico as condições do enunciado: o trabalho precisa ser o mesmo para comparar trabalhadores e tempo, e uma tarifa sem custo fixo para relacionar preço e quantidade. Essa leitura impede conclusões precipitadas. Por exemplo, horas de estudo e nota podem estar associadas, mas não existe garantia de que a nota cresça numa razão fixa. Para a EF08MA12, peço aos alunos que justifiquem a classificação com uma frase, uma conta ou uma representação algébrica, em vez de apenas marcar uma alternativa.

Um roteiro de quatro passos ajuda a turma:

1. Identifique as grandezas comparadas e as condições que se mantêm.
2. Teste a razão para a hipótese de proporcionalidade direta.
3. Teste o produto para a hipótese de proporcionalidade inversa.
4. Explique por que as demais classificações não se aplicam.

Na correção, eu valorizo a justificativa: reconhecer que “mais” não significa automaticamente “diretamente proporcional” é parte importante do raciocínio.

Como trabalhar a habilidade EF08MA12 na prática?

Para trabalhar a EF08MA12, eu alterno enunciados verbais, tabelas, sentenças algébricas e gráficos. Primeiro, apresento uma situação simples e peço previsões; depois, os alunos calculam razões ou produtos e defendem a classificação. Em seguida, conecto a regra à representação: uma relação direta y = kx aparece como uma reta que passa pela origem, enquanto uma relação inversa y = k/x não é uma reta. É importante não transformar esses desenhos em atalhos sem contexto: a expressão e os dados precisam confirmar o padrão. Em uma aula, uma tabela com poucos valores já permite testar hipóteses; em outra, posso pedir que a turma invente um exemplo que pareça proporcional, mas tenha taxa fixa. O GeraProva pode ajudar a montar versões variadas com gabarito, liberando tempo para discutir erros recorrentes e ajustar a atividade ao nível da turma.

Eu costumo fechar a prática com uma conversa rápida: qual dado foi decisivo? Que alternativa parecia plausível, mas falhou no teste? Para variar o nível, incluo problemas de reconhecimento, cálculo e representação gráfica. Se quiser preparar uma lista própria, você pode fazer um cadastro grátis no GeraProva e adaptar as questões ao conteúdo trabalhado.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões a seguir exploram identificação de padrões, interpretação de contextos e representação gráfica, com situações de pessoas, transporte, montagem de palco e entregas. Em cada item, eu apresento a dica de resolução e o conceito central antes das alternativas, para que o professor possa usar o material tanto como lista quanto como correção dialogada. A resposta correta vem acompanhada de uma justificativa, e cada distrator explica o equívoco envolvido; isso ajuda a mostrar que uma resposta errada pode nascer de uma confusão específica, como tratar qualquer crescimento conjunto como proporcionalidade direta. As questões se relacionam à habilidade EF08MA12, que envolve reconhecer a natureza da variação, expressá-la por sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. Também indico o nível de Bloom informado na base. Antes de revelar o gabarito, vale pedir que os alunos façam os testes da razão e do produto e comparem suas evidências com as explicações.

1. Altura, peso, horas de estudo e nota

Enunciado: Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

Dica de resolução: Verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Conceito para revisão: critérios de proporcionalidade direta e inversa e diferença entre associação e proporcionalidade. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. A primeira relação foi identificada corretamente, mas mais horas de estudo não garantem uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. Aumentar uma grandeza não significa que a outra aumente sempre na mesma proporção; isso não é garantido em nenhuma das relações.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. Não há diminuição acompanhada de produto constante nas relações apresentadas.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. Altura e peso não mantêm razão constante, e estudar mais não garante aumento proporcional da nota.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. A segunda relação está correta, mas altura e peso não mantêm uma razão constante.

2. Grandezas na operação de transporte

Enunciado: Gestores de transporte monitoram pares de grandezas para otimizar operações. Quando a distância dobra, o combustível consumido também dobra. Ao dobrar o número de trabalhadores da carga, o tempo de carregamento cai pela metade. Aumentar o peso da carga exige mais potência, mas sem fator constante. Qual par apresenta variação inversamente proporcional?

Dica de resolução: Procure a relação em que uma grandeza dobra e a outra cai pela metade. Conceito central: variação inversamente proporcional. Conceito para revisão: características da variação inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento. Dobrar trabalhadores reduz o tempo pela metade, conforme a situação descrita.
• ❌ B) Distância percorrida e tempo de carregamento. O texto não estabelece relação entre essas grandezas.
• ❌ C) Tempo de carregamento e combustível consumido. Não há informação relacionando o tempo de carga ao combustível.
• ❌ D) Peso da carga e potência exigida do motor. Existe relação, mas não há razão constante nem indicação de produto constante.
• ❌ E) Distância percorrida e combustível consumido. As duas grandezas dobram juntas, indicando variação direta, não inversa.

3. Voluntários e tempo de montagem do palco

Enunciado: Com 5 pessoas, a montagem leva 8 dias; com 10 pessoas, 4 dias; e com 20 pessoas, 2 dias. Mantendo a mesma quantidade de trabalho, qual é a natureza da relação entre número de voluntários e tempo de montagem?

Dica de resolução: Analise como o aumento do número de voluntários afeta o tempo. Conceito central: relação de grandezas inversamente proporcionais. Conceito para revisão: grandezas direta e inversamente proporcionais. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Diretamente proporcional. Na relação direta, as grandezas variam no mesmo sentido; aqui mais voluntários correspondem a menos dias.
• ❌ B) Não proporcional, mas crescente. O tempo não cresce com o número de voluntários.
• ❌ C) Não proporcional, mas decrescente. A diminuição é mais específica que uma relação decrescente: os produtos são constantes.
• ❌ D) Não se relacionam, pois o tempo é constante. O tempo varia de 8 para 4 e depois para 2 dias.
• ✅ E) Inversamente proporcional. Os produtos 5 × 8, 10 × 4 e 20 × 2 são iguais a 40.

4. Relação algébrica Y = 3X

Enunciado: Dadas as grandezas X e Y, onde Y = 3X, determine a natureza da relação entre elas.

Dica de resolução: Analise a relação entre as variáveis X e Y. Conceito central: relação entre grandezas. Conceito para revisão: relação proporcional entre grandezas. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) Diretamente proporcionais. Y é igual a X multiplicado pela constante 3; a razão Y/X permanece constante.
• ❌ B) Inversamente proporcionais. A expressão não tem a forma de uma constante dividida por X.
• ❌ C) Não proporcionais. A relação tem fator fixo: Y = 3X.
• ❌ D) Constantes. As grandezas variam; Y depende do valor de X.
• ❌ E) Relativas. Essa opção não descreve a relação matemática dada.

5. Custos e entregas de uma pizzaria móvel

Enunciado: Uma pizzaria cobra R$ 20 por pizza, sem taxa fixa. O tempo médio de entrega depende do número de motoboys, que repartem igualmente as entregas. O valor pago por entrega inclui taxa fixa de R$ 5 mais R$ 2 por quilômetro. Qual relação apresenta variação inversamente proporcional?

Dica de resolução: Identifique a relação em que aumentar uma variável reduz a outra na mesma razão. Conceito central: variação inversamente proporcional. Conceito para revisão: variação direta e inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Entender.

• ❌ A) Custo total C e número de pizzas n. C = 20n, relação diretamente proporcional.
• ❌ B) Tempo médio T e distância percorrida d. A distância não é a relação inversa descrita; a alternativa não apresenta esse padrão.
• ❌ C) Custo total C e distância percorrida d. O custo das pizzas não depende da distância, segundo o enunciado.
• ❌ D) Valor pago V e distância percorrida d. A taxa fixa gera uma relação com parcela constante, não inversamente proporcional.
• ✅ E) Tempo médio T e número de motoboys m. Repartindo as mesmas entregas, mais motoboys reduzem o tempo na mesma razão.

6. Representação gráfica de y = 3x

Enunciado: Dadas as grandezas x e y, onde y = 3x, represente graficamente essa relação em um plano cartesiano.

Dica de resolução: Calcule alguns valores de x e encontre os correspondentes de y. Conceito central: função linear. Conceito para revisão: representação de funções lineares em um gráfico. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Gráfico linear que não passa pela origem. Como x = 0 implica y = 0, o gráfico passa pela origem.
• ❌ B) Gráfico exponencial. A expressão y = 3x é linear, não exponencial.
• ✅ C) Gráfico linear que passa pela origem. A relação é uma reta com coeficiente 3 e intercepto zero.
• ❌ D) Gráfico circular. A equação não representa uma circunferência.
• ❌ E) Gráfico aleatório. Os valores seguem uma regra linear definida.

Na hora de corrigir, eu recomendo pedir que os alunos expliquem o teste que usaram, não apenas que repitam o gabarito. Isso ajuda a consolidar a diferença entre uma relação proporcional e uma tendência observada. Use estas questões como ponto de partida, adapte os contextos à sua turma e, se quiser economizar tempo na preparação, experimente o GeraProva para criar e ajustar atividades com gabarito comentado.