Dança do contexto comunitário e regional - Ensino Fundamental

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Question 1

Em um levantamento comunitário, o base $$(m1 = 72 \mathrm{kg})$$ fica com os pés alinhados; a parceira $$(m2 = 50 \mathrm{kg})$$ é estendida à frente de forma que seu centro de massa esteja a $$x2 = 0{,}85 m$$ do ponto médio entre os pés. Para evitar tombar para frente, determine a separação mínima entre os pés $$w_{\mathrm{min}}$$ de modo que a projeção do centro de massa combinado esteja dentro da base. Use $$x_{\mathrm{cm}}$$ $$0$$ $$(m1\cdot x1 + m2\cdot x2)/(m1+m2)$$ com $$x1 = 0$$; então $$w_{\mathrm{min}}$$ $$0$$ 2·$$x_{\mathrm{cm}}$$ (distâncias em m).

Accepted Answer

Modelo de resolução: tomar origem na linha média entre os pés; $$x1 = 0$$ (COM do base), $$x2 = 0{,}85 m$$ (COM da parceira à frente). $$x_{\mathrm{cm}}$$ $$0$$ $$(m1\cdot 0 + m2\cdot 0{,}85)/(m1+m2) = (50\cdot 0{,}85)/(72+50) = 42{,}5/122$$ ˜ $$0{,}3484 m$$. A projeção do COM combinado deve ficar dentro da metade da base, portanto $$w_{\mathrm{min}}$$ $$0$$ 2·$$x_{\mathrm{cm}}$$ ˜ $$2\cdot 0{,}3484 = 0{,}6968 m$$ ˜ $$0{,}70 m$$. Conclusão: os pés do base devem estar separados por pelo menos ˜$$0{,}70 m$$; se forem mais próximos, há risco de tombamento à frente. O cálculo do centro de massa combinado leva em consideração as massas e as posições de cada indivíduo, permitindo determinar a estabilidade do sistema. A separação mínima entre os pés é necessária para garantir que o centro de massa projetado permaneça dentro da base de apoio, evitando o tombamento. Assim, a distância calculada assegura que a força gravitacional não cause desequilíbrio ao sistema.

Question 2

Em uma sequência de dança, a oscilação vertical do centro de massa de um bailarino pode ser aproximada por um sistema massa-mola. Um bailarino de massa $$m = 45 \mathrm{kg}$$ apresenta frequência natural $$f = 2{,}00 \mathrm{Hz}$$ durante pequenos saltos repetidos. Usando $$T = 1/f$$ e $$T = 2$$pv$$(m/k)$$, determine a constante elástica equivalente $$k (\mathrm{em} N/m)$$. Considere $$p = 3{,}1416$$.

Accepted Answer

Passos do cálculo: $$f = 2{,}00 \mathrm{Hz}$$ ? $$T = 1/f = 0{,}50 s$$. Relação massa-mola: $$T = 2$$pv$$(m/k)$$ ? $$k = 4p^{2}\cdot m / T^{2}$$. Calcule $$4p^{2}$$ ˜ 39,478; $$T^{2} = 0{,}25 s^{2}$$. Assim $$k = 39{,}478 	imes  45 \mathrm{kg} / 0{,}25 = 39{,}478 	imes  180 = 7 106{,}0 N/m$$ ˜ $$7{,}11	imes 10^{3} N/m$$. (Unidades: $$N/m)$$. O cálculo da constante elástica k é fundamentado na relação entre a frequência natural de um sistema massa-mola e o período de oscilação. Ao substituir os valores de m e T na fórmula derivada, obtém-se um resultado que expressa a rigidez do sistema em $$N/m$$. A precisão dos cálculos e a aplicação correta das fórmulas garantem a validade do resultado final.

Question 3

Durante um levantamento comunitário, a base (massa $$m1 = 68 \mathrm{kg})$$ eleva a parceira (massa $$m2 = 52 \mathrm{kg})$$ com um impulso vertical que eleva o centro de massa da parceira em $$h = 0{,}30 m$$ durante ?$$t = 0{,}40 s$$. Considerando $$g = 10 m/s^{2}$$, calcule: a) o trabalho $$W (J)$$ feito para elevar a parceira; b) a potência média $$P (W)$$ da base durante o impulso; c) interprete brevemente $$(2-3$$ frases) o que esses valores indicam sobre a intensidade do esforço físico. Use $$W = m\cdot g\cdot h$$ e $$P = W$$/?t e apresente cálculos e interpretação.

Accepted Answer

Cálculo: $$W = m2\cdot g\cdot h = 52 \mathrm{kg}\cdot 10 m/s^{2}\cdot 0{,}30 m = 156 J$$. Potência média: $$P = W$$/?$$t = 156 J / 0{,}40 s = 390 W$$. Interpretação: $$390 W$$ é potência instantânea elevada, indicando um esforço de alta intensidade por curto período; dividido pela massa da base $$(390/68$$ ˜ $$5{,}7 W/\mathrm{kg})$$ mostra que o movimento exige força explosiva e é típico de esforços anaeróbicos breves. Os cálculos realizados seguem as fórmulas apropriadas para trabalho e potência, utilizando os valores de massa, gravidade e altura fornecidos. O resultado da potência média indica um esforço físico intenso, característico de atividades que exigem força em um curto espaço de tempo. A relação entre a potência e a massa da base evidencia a necessidade de uma força explosiva para realizar o movimento.

Question 4

Modele um bailarino que balança levemente como um pêndulo físico com pivot no tornozelo. Dado $$m = 60 \mathrm{kg}$$, distância do pivot ao centro de massa $$d = 0{,}90 m$$ e momento de inércia $$I = 35 \mathrm{kg}\cdot m^{2}$$ em relação ao pivot, determine o período T das pequenas oscilações. Use $$g = 10 m/s^{2}$$ e $$T = 2p$$·$$v(I/(m g d))$$.

Accepted Answer

Usar $$T = 2p$$·$$v(I/(m g d))$$. Substituindo: $$I=35 \mathrm{kg}\cdot m^{2}$$, $$m g d = 60\cdot 10\cdot 0{,}90 = 540 N\cdot m$$. $$I/(m g d) = 35/540$$ ˜ 0,064815. $$v(...)$$ ˜ $$0{,}2546 s$$. $$T = 2p\cdot 0{,}2546$$ ˜ $$1{,}60 s$$. Portanto T ˜ $$1{,}60 s$$. A fórmula utilizada para calcular o período das pequenas oscilações de um pêndulo físico considera o momento de inércia, a massa e a distância do pivot ao centro de massa. Os valores foram corretamente substituídos, resultando no cálculo de $$I/(m g d)$$, que fornece um fator essencial para encontrar o período T. O resultado final, que é aproximadamente $$1{,}60 s$$, reflete a dinâmica do sistema em questão.

Question 5

(Dissertativa) Em uma apresentação comunitária, o 'base' tem massa $$m1 = 70 \mathrm{kg}$$ e seu centro de massa coincide com o centro dos pés. A metade da largura da base até a borda externa dos pés é $$d_{\mathrm{edge}}$$ $$0$$ $$0{,}18 m$$ (distância do centro até a borda). A parceira, massa $$m2 = 48 \mathrm{kg}$$, permanece apoiada de modo que o centro de massa da parceira fica a $$x = 0{,}40 m$$ à frente do centro do base (isto é, além da borda). Usando $$g = 10 m/s^{2}$$, determine se o conjunto tenderá a tombar sobre a borda: calcule o momento provocador pelo peso da parceira em relação à borda e o momento resistente pelo peso do base em relação à borda. Conclua sobre a estabilidade e sugira duas medidas físicas para aumentar a segurança (explique em termos de forças/momentos).

Accepted Answer

Resolução modelo:
1) Dados: $$m1=70 \mathrm{kg}$$, $$m2=48 \mathrm{kg}$$, $$g=10 m/s^{2}$$, $$d_{\mathrm{edge}}$$$$0$$$$0{,}18 m$$, $$x=0{,}40 m$$.
2) Momento resistente (peso do base) em relação à borda: $$M_{\mathrm{res}}$$ $$0$$ $$m1\cdot g$$·$$d_{\mathrm{edge}}$$ $$0$$ $$70\cdot 10\cdot 0{,}18 = 126 N\cdot m$$.
3) Distância do CoM da parceira além da borda: ? $$0$$ x - $$d_{\mathrm{edge}}$$ $$0$$ $$0{,}40 - 0{,}18 = 0{,}22 m$$. Momento provocador: $$M_{\mathrm{prov}}$$ $$0$$ $$m2\cdot g$$·? $$0$$ $$48\cdot 10\cdot 0{,}22 = 105{,}6 N\cdot m$$.
4) Comparação: $$M_{\mathrm{res}}$$ $$0$$ $$126 N\cdot m$$ > $$M_{\mathrm{prov}}$$ $$0$$ $$105{,}6 N\cdot m$$ ? momento resistente maior, portanto o sistema NÃO tende a tombar; margem de estabilidade $$0$$ $$20{,}4 N\cdot m$$.
5) Medidas para aumentar a segurança (físicas): a) Aumentar a largura da base (aumentar $$d_{\mathrm{edge}}$$) — aumenta $$M_{\mathrm{res}}$$ $$0$$ $$m1\cdot g$$·$$d_{\mathrm{edge}}$$; b) Reduzir a distância horizontal do CoM da parceira (trazer o corpo mais sobre a base), diminuindo ? e $$M_{\mathrm{prov}}$$ $$0$$ $$m2\cdot g$$·?. Alternativas: abaixar o centro de massa (reduz deslocamentos verticais e aumenta estabilidade) e uso de apoio adicional (força de reação extra aplicada com as mãos que gera um momento oposto ao provocador). Essas medidas atuam diretamente sobre forças e momentos para aumentar a margem de equilíbrio. A análise dos momentos em relação à borda permite determinar a estabilidade do sistema, comparando o momento resistente gerado pelo peso do base e o momento provocador gerado pelo peso da parceira. Quando o momento resistente é maior que o momento provocador, o sistema permanece estável e não tende a tombar. As sugestões de aumentar a largura da base ou reduzir a distância do centro de massa da parceira visam aumentar a margem de segurança, garantindo maior estabilidade ao sistema.

Question 6

Dissertativa — Em uma roda de dança comunitária, dois participantes de massas $$m1 = 60 \mathrm{kg}$$ e $$m2 = 48 \mathrm{kg}$$ giram em torno do centro do círculo com distâncias $$r1 = 0{,}60 m$$ e $$r2 = 0{,}80 m$$ do eixo, ambos com velocidade angular inicial ?$$i = 1{,}50 \mathrm{rad}/s$$. Considere que cada participante pode ser aproximado como massa pontual $$(I = m r^{2})$$. Um terceiro participante de massa $$m3 = 55 \mathrm{kg}$$ aproxima-se e se prende ao grupo a $$r3 = 0{,}40 m$$, inicialmente sem girar em relação ao solo. Assumindo ausência de torques externos, explique e calcule (1) a velocidade angular final ?f do sistema após a entrada do terceiro, (2) as energias rotacionais inicial e final, $$e (3)$$ por que a energia rotacional muda mesmo com conservação do momento angular. Use $$L = I$$·? e $$K = \frac{1}{2} I$$ ?$$^{2}$$. (Apresente cálculos e interpretação física.)

Accepted Answer

Modelo de resolução:
1) Calcule o momento de inércia inicial $$I_{i}$$ somando as massas pontuais: $$I_{i}$$ $$0$$ $$m1\cdot r1^{2} + m2\cdot r2^{2} = 60$$·$$(0{,}60)$$$$^{2} + 48$$·$$(0{,}80)$$$$^{2} = 60\cdot 0{,}36 + 48\cdot 0{,}64 = 21{,}6 + 30{,}72 = 52{,}32 \mathrm{kg}\cdot m^{2}$$.
Momento angular inicial $$L_{i}$$ $$0$$ $$I_{i}$$·?$$i = 52{,}32\cdot 1{,}50 = 78{,}48 \mathrm{kg}\cdot m^{2}/s$$.
Momento de inércia do terceiro $$I3 = m3\cdot r3^{2} = 55$$·$$(0{,}40)$$$$^{2} = 55\cdot 0{,}16 = 8{,}80 \mathrm{kg}\cdot m^{2}$$.
$$I_{f}$$ $$0$$ $$I_{i}$$ + $$I3 = 52{,}32 + 8{,}80 = 61{,}12 \mathrm{kg}\cdot m^{2}$$.
Logo ?f $$0$$ $$L_{i}$$ / $$I_{f}$$ $$0$$ $$78{,}48 / 61{,}12$$ ˜ $$1{,}284 \mathrm{rad}/s$$.

2) Energias rotacionais: $$K_{i}$$ $$0$$ $$\frac{1}{2}$$ $$I_{i}$$ ?$$i^{2} = 0{,}5\cdot 52{,}32$$·$$(1{,}50)$$$$^{2} = 0{,}5\cdot 52{,}32\cdot 2{,}25 = 58{,}86 J$$.
$$K_{f}$$ $$0$$ $$\frac{1}{2}$$ $$I_{f}$$ ?$$f^{2} = 0{,}5\cdot 61{,}12$$·$$(1{,}284)$$$$^{2}$$ ˜ $$0{,}5\cdot 61{,}12\cdot 1{,}648$$ ˜ $$50{,}35 J$$.
Variação ?K $$0$$ $$K_{f}$$ - $$K_{i}$$ ˜ $$50{,}35 - 58{,}86 = -8{,}51$$ $$J (\mathrm{energia} \mathrm{diminui})$$.

3) Interpretação: o momento angular L é conservado porque não há torque externo; porém a energia rotacional não é conservada durante a captura do terceiro participante. Parte da energia rotacional inicial é dissipada ou transformada em energia interna (atrito, deformações musculares) quando os corpos se aproximam e se prendem — o processo é análogo a uma colisão inelástica em rotação. Assim há redução da energia cinética rotacional apesar da conservação de L. Se o terceiro tivesse sido impulsionado pelos demais sem dissipação, trabalho interno poderia alterar a energia, mas na prática parte é convertida em calor e trabalho muscular. A análise do momento de inércia e do momento angular mostra que, ao adicionar uma nova massa ao sistema, a velocidade angular diminui, mantendo a conservação do momento angular. A energia rotacional inicial é maior que a final devido à dissipação de energia durante a interação dos participantes, semelhante a uma colisão inelástica. Essa transformação de energia é comum em sistemas onde forças internas atuam, resultando em perdas que não afetam o momento angular total.

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