O Censo Demográfico do IBGE reúne informações sobre os domicílios e as famílias no Brasil. Em projetos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
O Censo Demográfico do IBGE reúne informações sobre os domicílios e as famílias no Brasil. Em projetos residenciais, medidas de espaços e estruturas podem ser representadas por modelos geométricos, que ajudam a prever como uma alteração em uma dimensão afeta as demais. Referência: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Censo Demográfico 2022. Rio de Janeiro: IBGE, 2023. Situação hipotética: ao planejar uma estrutura triangular em uma residência, uma família modela uma parte dela como um triângulo retângulo. A hipotenusa mede 13 m e um cateto mede 5 m. Em uma revisão do projeto, esse cateto passa a medir 8 m, enquanto a hipotenusa permanece com 13 m. Qual é a medida do outro cateto antes e depois da alteração do projeto?
- A) Na configuração inicial, o outro cateto mede 13,08 m; na seguinte, mede 11,49 m. Portanto, ele diminui aproximadamente 1,59 m.
- B) Para a medida inicial, o outro cateto mede 9,80 m; depois, mede 7,55 m. Portanto, ele diminui aproximadamente 2,25 m.
- C) Antes, 12 m; depois, raiz quadrada de 105 m, aproximadamente 10,25 m. Portanto, o outro cateto diminui aproximadamente 1,75 m.
- D) De início, o outro cateto mede 11,62 m; depois da alteração, mede 10,30 m. Portanto, ele diminui aproximadamente 1,32 m.
- E) Antes, o outro cateto mede 8 m; depois, mede 5 m. Portanto, ele diminui aproximadamente 3,00 m.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Pelo teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.
- Inicialmente, o cateto desconhecido mede raiz de (13^2 - 5^2) = raiz de 144 = 12 m.
- Depois da alteração, ele mede raiz de (13^2 - 8^2) = raiz de 105, aproximadamente 10,25 m. Assim, diminui cerca de 12 - 10,25 = 1,75 m. A alternativa C está correta.
- A alternativa A não aplica corretamente a relação pitagórica; a B também fornece valores incompatíveis com os catetos e a hipotenusa dados; a D erra os cálculos das raízes; e a E apenas troca os valores dos catetos, sem considerar a hipotenusa fixa.
💡 Dica: Use c²=a²+b² para calcular o cateto desconhecido em cada configuração.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente calcula o cateto desconhecido usando uma relação inadequada entre as medidas, obtendo valores maiores que a hipotenusa, o que é impossível em um triângulo retângulo.
O aluno reconhece que deve determinar os catetos, mas realiza incorretamente as subtrações ou extrações de raiz; os valores propostos não satisfazem o teorema de Pitágoras.
Em cada caso, o Teorema de Pitágoras dá o cateto desconhecido como a raiz quadrada da diferença entre o quadrado da hipotenusa e o quadrado do cateto conhecido. Antes: raiz quadrada de (13^2 - 5^2) = 12 m. Depois: raiz quadrada de (13^2 - 8^2) = raiz quadrada de 105 m, aproximadamente 10,25 m. A diferença é aproximadamente 1,75 m.
O aluno tenta usar o teorema de Pitágoras, mas calcula incorretamente as raízes ou a diferença entre os catetos, chegando a medidas que não correspondem aos dados.
Por que engana: Subtrair diretamente os comprimentos dos lados ou calcular a raiz quadrada da soma dos quadrados.
O aluno pode supor que, ao mudar um cateto de 5 m para 8 m, o outro passa a ter a medida do cateto anterior. Isso ignora que a hipotenusa permanece fixa e que as medidas precisam obedecer ao teorema de Pitágoras.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras em triângulo retângulo.
avaliacao
Identificar hipotenusa e catetos em triângulo retângulo. · Operar raízes quadradas e aproximar resultados decimais.
Cálculo de cateto desconhecido e comparação de medidas.
Subtrair diretamente os comprimentos dos lados ou calcular a raiz quadrada da soma dos quadrados.
Habitação e planejamento residencial.
cotidiano
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