Situação hipotética: em uma entrevista para o informativo de um programa municipal de esporte e lazer, a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Situação hipotética: em uma entrevista para o informativo de um programa municipal de esporte e lazer, a coordenadora explicou que serão organizadas turmas de vôlei, futsal e badminton. Em cada cenário, x, y e z representam, respectivamente, as quantidades de turmas dessas três modalidades. Nos dois cenários, serão oferecidas 12 turmas e utilizados 26 conjuntos de materiais, considerando 2 conjuntos por turma de vôlei, 1 por turma de futsal e 3 por turma de badminton. No cenário I, serão destinados 23 períodos de trabalho de monitores; no cenário II, serão 29 períodos. Cada turma de vôlei, futsal e badminton demanda, respectivamente, 1, 3 e 2 períodos de monitoria. As matrizes aumentadas dos sistemas são I = [[1, 1, 1, 12], [2, 1, 3, 26], [1, 3, 2, 23]] e II = [[1, 1, 1, 12], [2, 1, 3, 26], [1, 3, 2, 29]]. A programação exige ao menos uma turma de cada modalidade. Após aplicar a eliminação de Gauss às duas matrizes aumentadas, qual cenário atende à programação prevista?
- A) O cenário I, com 5 turmas de vôlei, 2 de futsal e 5 de badminton
- B) O cenário I, com 2 turmas de vôlei, 4 de futsal e 6 de badminton
- C) O cenário II, com 1 turma de vôlei, 4 de futsal e 7 de badminton
- D) O cenário I, com 4 turmas de vôlei, 3 de futsal e 5 de badminton
- E) O cenário II, com 0 turmas de vôlei, 5 de futsal e 7 de badminton
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- As equações comuns aos dois cenários são x + y + z = 12 e 2x + y + 3z = 26. Subtraindo duas vezes a primeira da segunda, resulta y + z = 2x + 2.
- No cenário I, a terceira equação é x + 3y + 2z = 23. Usando x + y + z = 12, obtemos 2y + z = 11. Com y + z = 2x + 2 e essas relações, a solução é x = 4, y = 3, z = 5. Ela soma 12 turmas, usa 26 conjuntos e demanda 4 + 9 + 10 = 23 períodos; há ao menos uma turma de cada modalidade.
- No cenário II, a solução das equações comuns continua sendo necessária, mas a combinação de 12 turmas e 26 conjuntos não é compatível com 29 períodos: as equações comuns implicam x + 3y + 2z = 12 + 2y + z = 12 + (2x + 2) + y, e, resolvendo com x + y + z = 12 e 2x + y + 3z = 26, chega-se a 23 períodos. Portanto, o cenário II não atende.
- A alternativa D é correta. A, B e C não satisfazem simultaneamente as equações indicadas; E também viola a exigência de ao menos uma turma de vôlei, além de não representar solução do sistema.
💡 Dica: Resolva os dois sistemas por eliminação e confira se as quantidades são inteiras e positivas.
Alternativa por alternativa
Pode ter conferido apenas o total de turmas: 5 + 2 + 5 = 12. Porém, essa combinação demanda 25 conjuntos e 21 períodos, não os valores do cenário I.
A combinação soma 12 turmas, mas usa 26 conjuntos e demanda 26 períodos, não os 23 períodos do cenário I. O aluno pode ter deixado de verificar a terceira equação.
Embora a combinação some 12 turmas e use 27 conjuntos, não respeita os 26 exigidos; além disso, demanda 27 períodos, não 29. O aluno provavelmente não conferiu todas as restrições.
A eliminação de Gauss no cenário I resulta em x = 4, y = 3 e z = 5, mantendo turmas nas três modalidades. No cenário II, resulta x = 0, y = 5 e z = 7, o que não atende à exigência de oferecer todas as modalidades.
A combinação soma 12 turmas e usa 26 conjuntos, mas prevê zero turmas de vôlei, contrariando a exigência de ao menos uma de cada modalidade; também demanda 29 períodos, mas não constitui a solução do sistema.
Por que engana: Escolher uma solução que satisfaz apenas as duas primeiras condições e ignorar a quantidade de períodos de monitoria ou o mínimo de turmas.
Raio-X da questão
Eliminação de Gauss em sistemas lineares simultâneos
avaliacao
Operações elementares com linhas de matrizes · Resolução de sistemas lineares de três incógnitas
Interpretação de soluções de sistemas lineares em contexto
Escolher uma solução que satisfaz apenas as duas primeiras condições e ignorar a quantidade de períodos de monitoria ou o mínimo de turmas.
Esporte e lazer
cotidiano
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