Em uma lavanderia, sensores registram as vibrações de duas máquinas durante testes de funcionamento. Os sinais…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma lavanderia, sensores registram as vibrações de duas máquinas durante testes de funcionamento. Os sinais são modelados por s1(t) = 2 cos((pi/2)t) e s2(t) = 3 cos((2pi/5)t), em que t é o tempo, em segundos, e os argumentos das funções estão em radianos. Considerando os modelos dos sinais, após quantos segundos os padrões completos de vibração das duas máquinas se repetem simultaneamente pela primeira vez?
- A) 12 segundos
- B) 24 segundos
- C) 16 segundos
- D) 30 segundos
- E) 20 segundos
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Para cos(ωt), o período é T = 2π/ω; as amplitudes 2 e 3 não alteram o período.
- Para s1, ω = π/2, então T1 = 2π/(π/2) = 4 s. Para s2, ω = 2π/5, então T2 = 2π/(2π/5) = 5 s.
- Os dois padrões voltam simultaneamente ao estado inicial após o menor múltiplo comum de 4 e 5, que é 20 s. Portanto, a alternativa E está correta, em concordância com o gabarito.
- A alternativa A (12 s) não é múltiplo de 5; B (24 s) não é múltiplo de 5; C (16 s) não é múltiplo de 5; e D (30 s) não é múltiplo de 4. Nenhum desses tempos corresponde a uma repetição simultânea completa.
💡 Dica: Calcule o período de cada cosseno e determine o mínimo múltiplo comum dos períodos.
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter considerado um tempo que é múltiplo do período de 4 s da primeira máquina, mas não verificou o período de 5 s da segunda.
Por que engana: Usar as frequências angulares diretamente como períodos ou somar os períodos.
O aluno pode ter usado apenas o período de 4 s da primeira máquina ou calculado um múltiplo sem conferir se também é múltiplo de 5.
O aluno pode ter tomado um múltiplo de 4 s como suficiente, ignorando que a segunda máquina repete a cada 5 s.
O aluno pode ter considerado apenas um múltiplo de 5 s, sem verificar que 30 não é múltiplo do período de 4 s da primeira máquina.
Os períodos são 4 segundos para s1 e 5 segundos para s2. O primeiro instante em que ambos completam um número inteiro de ciclos é o mínimo múltiplo comum de 4 e 5, que vale 20 segundos.
Raio-X da questão
Período de funções cosseno e repetição simultânea.
fixacao
Período de uma função cosseno da forma cos(ωt). · Mínimo múltiplo comum de números racionais.
Período de funções trigonométricas e mínimo múltiplo comum.
Usar as frequências angulares diretamente como períodos ou somar os períodos.
cotidiano
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