Matemática3ª sérieBNCC EM13MAT310Difícil⏱ medio

Durante um ensaio em uma banda de garagem, o sinal de áudio pode ser encaminhado entre quatro módulos…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT310

Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Durante um ensaio em uma banda de garagem, o sinal de áudio pode ser encaminhado entre quatro módulos identificados por A, B, C e D. A rede de encaminhamento é representada por um grafo direcionado: há setas de A para B e de A para C; de B para C e de B para D; de C para A e de C para D; e de D para B. Cada seta indica uma ligação direta possível, e não há outras ligações. Adotando a ordem A, B, C, D para as linhas e colunas, construa a matriz de adjacência M da rede descrita e calcule M^2; em seguida, interprete a entrada da linha A e coluna D de M^2 como o número de percursos possíveis com exatamente duas ligações de A até D.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

M = [[0,1,1,0],[0,0,1,1],[1,0,0,1],[0,1,0,0]] e M^2 = [[1,0,1,2],[1,1,0,1],[0,2,1,0],[0,0,1,1]]. A entrada da linha A e coluna D é 2: existem dois percursos com exatamente duas ligações, A -> B -> D e A -> C -> D.

Explicação

Na matriz de adjacência, cada linha representa o módulo de partida e cada coluna o módulo de chegada. Ao multiplicar M por M, a entrada (A,D) soma as possibilidades de passar por cada módulo intermediário: há uma ligação de A para B e de B para D, e uma de A para C e de C para D. Assim, a entrada vale 2.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom analisar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

Matriz de adjacência e interpretação de M² em grafos direcionados.

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Representação de grafos direcionados por matrizes. · Multiplicação de matrizes.

📚 Reveja

Potências de matrizes de adjacência contam caminhos de comprimento fixo.

⚠️ Erro mais comum

Usar a ordem errada de linhas e colunas ou interpretar M² como ligações diretas, em vez de percursos de dois passos.

🏫 Contexto

abstrato

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